¿Cómo se define el producto interno "natural" en un espacio de producto tensorial?

Una base para un espacio de producto tensorial son los vectores$|v_i\rangle\otimes |w_j\rangle$, dónde$i = 1,\ldots,N_V$y$j = 1, \ldots, N_W$, dónde$N_V$y$N_W$son las dimensiones de$V$y$W$, respectivamente. Tenga en cuenta que incluimos todas las combinaciones, no solo aquellas en las que$i=j$. un vector$|u\rangle$puede así escribirse:

$$|u\rangle = \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} u_{ij} |v_i\rangle\otimes |w_j\rangle$$

El producto interior natural entre dos vectores.$|a\rangle,|b\rangle$es entonces:

$$\langle b | a \rangle := \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} \sum_{i'}^{N_V} \sum_{j'}^{N_W} b^*_{i'j'} a_{ij} \langle v_{i'} | v_i \rangle \langle w_{j'} | w_j \rangle$$ Si el $\{|v_1\rangle\ldots,|v_i\rangle,\ldots,|v_{N_V}\rangle\}$y $\{|w_1\rangle\ldots,|w_j\rangle,\ldots,|w_{N_W}\rangle\}$ambas bases son ortonormales (en mecánica cuántica casi siempre lo son), esto se simplifica a: $$\langle b | a \rangle := \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} \sum_{i'}^{N_V} \sum_{j'}^{N_W} b^*_{i'j'} a_{ij} \delta_{ii'} \delta_{jj'} = \sum_i^{N_V} \sum_j^{N_W} b^*_{ij} a_{ij}$$

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Para motivar la "naturalidad" de esta selección, señalaría que el espacio familiar de funciones (es decir, funciones de onda) de múltiples variables (digamos$x,y,z$) es el producto tensorial de los espacios de funciones de las variables individuales. Eso se puede ver simplemente observando que una función$f(x,y,z)$debe especificar un valor para todas las posibles combinaciones de coordenadas$(x,y,z)$, al igual que un vector en el espacio que das se caracteriza por su coeficiente$u_{ij}$para todos los posibles pares de índices. El producto interior de dos funciones.$f(x,y,z)$y$g(x,y,z)$es por supuesto:

$$\int dx \int dy \int dz g^*(x,y,z) f(x,y,z)$$ que es totalmente análoga a la definición general dada anteriormente.

Con respecto a la notación de índice: Nielsen & Chuang están considerando sumas finitas arbitrarias

$$\sum_{i\in I} a_i \left| v_i \right\rangle \otimes \left| w_i \right\rangle, \qquad a_i~\in~\mathbb{C},$$ en el producto tensorial $V\otimes W$, donde el conjunto de índices $I$es arbitrario pero finito: $|I|<\infty$. No se supone, por ejemplo, la independencia lineal de $$\left| v_i \right\rangle, \qquad i\in I.$$ Tampoco hay un supuesto de independencia lineal de $$\left| w_i \right\rangle, \qquad i\in I.$$ En particular, no es necesario suponer que los espacios vectoriales $V$y $W$tener la misma dimensión.