Se encontró el resultado correcto en la ecuación algebraica relacionada con la matriz por error

Estoy trabajando con gráficos por computadora y necesitaba descubrir cómo se giraba algo en una imagen para poder igualar el ángulo de la cámara y recrear el elemento en 3D.

La imagen muestra la referencia con los vectores conocidos agregados.

el vector horizontal$\vec {x_0}$se puede normalizar a$\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\end{bmatrix}$y el otro vector$\vec y$se puede normalizar a$\begin{bmatrix}0.20720675587654114 & 0.9782971739768982 & 0\end{bmatrix}$. el vector original$\vec y_0$se considera que es$\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\end{bmatrix}$.

Considerando$\vec {x_0}$permanece horizontal y$\vec y_0$no lo hace, comprobé que había dos rotaciones, una alrededor del eje x ($\theta$) y otra alrededor del eje y ($\gamma$) . También comprobé que se estaba utilizando una proyección ortográfica. Para mis propósitos, no me preocupa la coordenada z final.

Creé matrices de rotación y proyección de la siguiente manera:

$Rot_x = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & cos \theta & sin \theta\\0 & -sin \theta & cos \theta\end{bmatrix}$

$Rot_y = \begin{bmatrix}cos \gamma & 0 & sin \gamma\\0 & 1 & 0\\-sin \gamma & 0& cos \gamma\end{bmatrix}$

$Proj = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

Luego, combínalos:

$$\begin{align}{Rot_x \cdot Rot_y \cdot Proj} & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos \theta & sin \theta\\ 0 & -sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos \gamma & 0 & sin \gamma\\ 0 & 1 & 0\\ -sin \gamma & 0& cos \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\\& = \begin{bmatrix} cos \gamma & 0 & sin \gamma\\ -sin \gamma sin \theta & cos \theta & cos \gamma sin \theta\\ -sin \gamma cos \theta & -sin \theta & cos \gamma cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\\& = \begin{bmatrix} cos \gamma & 0 & 0\\ -sin \gamma sin \theta & cos \theta & 0\\ -sin \gamma cos \theta & -sin \theta & 0 \end{bmatrix} \end{align}$$

Escribiendo la transformación en notación de vector unitario, obtengo:

$$\begin{align}\vec y & = ({y_{0x}} cos \gamma - {y_{0y}} sin \gamma sin \theta - {y_{0z}} sin \gamma cos \theta) \mathbf {\hat i} + ({y_{0x}} 0 + {y_{0y}} cos \theta - {y_{0z}} sin \theta) \mathbf {\hat j} + ({y_{0x}} 0 + {y_{0y}} 0 + {y_{0z}} 0) \mathbf {\hat k}\\& = ({y_{0x}} cos \gamma - {y_{0y}} sin \gamma sin \theta - {y_{0z}} sin \gamma cos \theta) \mathbf {\hat i} + ({y_{0y}} cos \theta - {y_{0z}} sin \theta) \mathbf {\hat j} \end{align}$$

Sustituyendo valores de$\vec y$y$\vec y_0$obtenemos:

$$\begin{align} 0.20720675587654114 \mathbf {\hat i} + 0.9782971739768982 \mathbf {\hat j} & = (0 cos \gamma - 1 sin \gamma sin \theta - 0 sin \gamma cos \theta) \mathbf {\hat i} + (1 cos \theta - 0 sin \theta) \mathbf {\hat j}\\ & = -(sin \gamma sin \theta) \mathbf {\hat i} + (cos \theta) \mathbf {\hat j}\ \end{align}$$

Con esta ecuación,$\theta$y$\gamma$debe poder ser encontrado (utilizando la identidad$sin \theta = \sqrt{1-{cos{^2}\theta}}$) por las ecuaciones:

$$\begin{align} cos \theta & = 0.9782971739768982\\ \theta & = cos^{-1}(0.9782971739768982)\\ -(sin \gamma sin \theta) & = 0.20720675587654114\\ sin \gamma & = \frac{0.20720675587654114}{-sin \theta}\\ sin \gamma & = \frac{0.20720675587654114}{\pm \sqrt{1-0.9782971739768982^2}}\\ \gamma & = sin^{-1}\left(\frac{0.20720675587654114}{\pm \sqrt{1-0.9782971739768982^2} }\right) \end{align}$$

Sin embargo, cometí un error e hice lo siguiente, que devolvió los ángulos correctos:

$$\begin{align} -sin \theta & = 0.9782971739768982\\ sin \theta & = -0.9782971739768982\\ \theta & = sin^{-1}(-0.9782971739768982)\\ -(sin \gamma sin \theta) & = 0.20720675587654114\\ sin \gamma & = \frac{0.20720675587654114}{-sin \theta}\\ sin \gamma & = \frac{0.20720675587654114}{0.9782971739768982}\\ \gamma & = sin^{-1}\left(\frac{0.20720675587654114}{0.9782971739768982 }\right) \end{align}$$

Esto dio los siguientes resultados, que giraron un plano correctamente (con algunos ajustes de signo debido a las orientaciones de rotación del programa):

$$\begin{align} \theta & = -78.04128901169878^\circ\\ \gamma & = 12.22806234616057^\circ \end{align}$$

Obviamente, cometí un error en alguna parte al verificar mis resultados. ¿Alguien puede ver dónde he cometido el error? Como dije, las ecuaciones equivocadas arrojaron valores correctos, pero las ecuaciones "correctas" arrojaron un error de dominio.