Combinación lineal de vectores vs Producto de puntos en la multiplicación de vectores Matrix

Considere la operación:

$\begin{bmatrix}2 & 0\\1 & 2\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$

Aquí, la matriz codifica la transformación que conduce a los vectores base i, j a$\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$y$\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}$respectivamente. Entonces, según la definición de vectores, el vector$\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$está a 1 unidad de i ya 1 unidad de j. Después de la transformación, será en$\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$

La multiplicación de vectores de matrices, cuando se expresa como una combinación lineal, es muy intuitiva. Sin embargo, se obtiene el mismo vector de resultado cuando tomamos el producto escalar de los vectores fila de la matriz con el vector columna. ¿Por qué es esto posible? Claramente, [2 0] no están juntos, pertenecen a diferentes vectores. Pero aún así, hacer eso funciona. ¿Es alguna magia numérica? ¿O me estoy perdiendo una perspectiva geométrica?

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Mirando la respuesta de FoobazJohn, parece haber alguna relación entre ellos. Qué es ?