Producto de Suma de Dígitos

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Producto de Suma de Dígitos

Matemáticas
Matemáticas discretas
matemáticas-recreativas

jeff hanks

Este es un problema adicional que mi maestro nos dio durante una clase de competencia de matemáticas:

hay un entero positivo $n$ tal que $S(n)S(n + 4)$ = $2022?$

El $S(n)$ significa la suma de los dígitos de $n.$ Por ejemplo, si $n=14,$ entonces $S(n)=5$ .

he factorizado primo $2022=2 \cdot 3 \cdot 337$ hasta ahora. Y he intentado tener $n=337$ y $n=666,$ ambos de los cuales terminaron infructuosos.

Me he dado cuenta de que tiene que haber un montón de $9$ s en el medio del número para llevar a $0$ pero hasta ahora nada me ha funcionado. ¿Puedo tener algo de ayuda? ¡Gracias!

Respuestas (3)

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daniel matias · Answer 1

Quizá la solución más sencilla provenga de ensayos con los factores de $2022$ :

S (norte) = 2022, S (norte + 4) = 1 ⟹ norte + 4 = 10^{k} norte = 10^{k} - 4 ⟹ S (norte) = 9 k - 3 9 k - 3 = 2022 ⟹ k = 225

$S(n)=2022,S(n+4)=1\implies n+4=10^k\\n=10^k-4\implies S(n)=9k-3\\9k-3=2022\implies k=225$

Esto da nuestra primera solución:

norte = 10^{225} - 4

$n=10^{225}-4$

Existen otras soluciones, con $S(n+4)=3$ , incluido el de Jean-Claude Arbaut:

\begin{aligned} norte = 10^{75} - 2 \\ norte = 2 \times 10^{75} - 3 \\ norte = 3 \times 10^{75} - 4 \end{aligned}

$\begin{align}&n=10^{75}-2\\&n=2\times10^{75}-3\\&n=3\times10^{75}-4\end{align}$ E infinitamente otros muchos, como

n = 21 \times 10^{75} - 4

$n=21\times10^{75}-4$ o

n = 111 \times 10^{75} - 4

$n=111\times10^{75}-4$

Jean-Claude Arbaut · Answer 2

norte = 10^{75} - 2

$n=10^{75}-2$

De $n\equiv S(n)\pmod{9}$ y $n+4\equiv S(n+4)\pmod{9}$ , Debemos tener $n(n+4)\equiv 2022\equiv 6\pmod{9}$ por eso $n\equiv6$ o $8$ $\pmod{9}$ . Entonces es solo prueba y error con números con muchos nueves.

Ambas respuestas fueron muy útiles, ¿cuál debo marcar como aceptada?
@PlayGame Probé varios valores de $10^k-2$ , "bisecando" para encontrar $2022$ para $S(n)S(n+4)$ . Afortunadamente, funcionó. La idea era probar un número con muchos nueves, es decir $\equiv8\pmod9$ . y numeros $10^k-2$ son los más simples.

ZFR · Answer 3

Si hay tal $n$ , entonces $n\equiv 6, 8 \pmod 9$ se sigue fácilmente del hecho de que $n\equiv S(n)\pmod 9$ . ¿Puedes mostrar esto?

En primer lugar, ¿puedes demostrar que $S(n)\equiv n \pmod 9$ ?
O dado que la prueba de divisibilidad por $9$ es la suma de dígitos, entonces sí
deberías conseguir $n(n+4)\equiv 6 \pmod 9$ y solo tiene dos soluciones.
Ambas respuestas fueron muy útiles, ¿cuál debo marcar como aceptada?

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