¿Por qué la gravedad disminuye a medida que descendemos a la Tierra? [duplicar]

En realidad, no es del todo cierto que la fuerza del campo gravitatorio de la Tierra disminuya en función de la profundidad. Es cierto para ciertas regiones de la Tierra, pero no es cierto para otras debido a la dependencia no trivial de la densidad de la Tierra con la profundidad.

Para ver lo que está pasando, suponga que la Tierra es una esfera cuya densidad es esféricamente simétrica.

Ahora considere una masa$m$en algún radio$r$del centro de la Tierra. Usando la Ley de la Gravitación de Newton, se puede demostrar que dada la simetría esférica, la atracción gravitatoria sobre$m$de toda masa con radios mayores que$r$ejercer ninguna fuerza neta sobre él. De ello se deduce que sólo la masa con radios menores o iguales a$r$contribuyen a la fuerza gravitatoria sobre$m$, que, por la Ley de la Gravitación es

$$\begin{align} F(r) = G\frac{M(r)m}{r^2} \end{align}$$ dónde $M(r)$es la masa de cosas en radios menores o iguales a $r$. Nótese, entonces, que $F(r)$será una función creciente de $r$(y disminuirá a medida que $r\to 0$), proporcionó $M(r)/r^2$es una función creciente de $r$.

Ahora, si la Tierra fuera uniformemente densa con densidad$\rho_0$, entonces la masa dentro de un radio$r$sería

$$\begin{align} M(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_0 \end{align}$$ es decir, solo la densidad por el volumen de una esfera de radio $r$, y en este caso la fuerza del campo gravitatorio en función del radio sería $$\begin{align} g(r) = \frac{F(r)}{m} = G\frac{1}{r^2}\frac{4}{3}\pi r^3\rho_0 = \left(\frac{4}{3}\pi g\rho_0\right) r \end{align}$$ Entonces, en este caso, sería cierto que la fuerza del campo gravitatorio disminuiría al aumentar la profundidad.

Sin embargo, la densidad de la Tierra no es constante y, en cambio, tiene una dependencia no trivial de$r$. Véase, por ejemplo, esta tabla PREM . Puedes ver claramente que hay regiones en la Tierra donde la fuerza del campo gravitacional aumenta debido a la densidad variable.

Esa ecuación se aplica a las fuentes puntuales, que técnicamente no es la Tierra. Sin embargo, podemos tratar a la Tierra como una fuente puntual siempre que su estructura interna sea irrelevante (es decir, mientras estemos fuera de ella). Una vez que entramos en la superficie de la Tierra, ya no podemos simplificarla fingiendo que es un punto y tenemos que realizar un análisis completo del sistema.

Es importante tener en cuenta, como señaló joshphysics, que debido a que la densidad del material en la Tierra no es constante, movernos más profundo bajo tierra en realidad nos acercará a una región que es más densa (y por lo tanto nos atrae con más fuerza) mientras pone una región que es menos densa más lejos, lo que aumentaría la fuerza de gravedad. Sin embargo, para una primera aproximación, podemos suponer que la densidad de la Tierra es constante.

Entonces, dada esta suposición, podemos demostrar que solo la cantidad de masa que todavía está debajo de nosotros ejerce una atracción neta sobre nosotros de varias maneras.

Por ejemplo, es un resultado conocido que en cualquier punto dentro de una capa esférica de masa, no hay fuerza gravitatoria neta debido a la simetría. Por lo tanto, sabemos que una vez que estamos dentro de la Tierra, cualquier masa que no sea tan profunda como nosotros no tiene un efecto neto sobre nosotros. También se puede usar la Ley de Gauss para demostrar lo mismo.

En resumen, la única masa que ejerce una fuerza neta sobre nosotros es la masa que está debajo de nosotros, y cuanto más profundo viajamos bajo tierra, menos masa hay debajo de nosotros. Por lo tanto, hay menos atracción gravitacional a medida que nos adentramos más bajo la superficie.