Problema del sistema de presión versus volumen

Un recipiente hermético rígido de volumen 1,5 m 3 se llena con un gas de densidad 8 kg/m 3 . El contenedor tiene un densímetro que nos permite observar los cambios de densidad del gas en el contenedor. Dentro del recipiente hay una pelota de goma (ejemplo, globo esférico) que contiene un gas diferente. No conocemos la densidad ni el volumen de la bola interior. La membrana de la pelota está perfectamente aislada. La temperatura fría se inyecta de forma remota en la bola interior. Mientras esto sucede, después de tomar varias medidas con el densímetro, podemos ver que la densidad está cayendo a razón de 0,1 kg/m 3 /segundo. Cuando el medidor se detiene, sabemos que la densidad dentro de la bola interior ha alcanzado los 1000 kg/m 3 con un volumen de 5 ∗ 10 − 4 . ¿Cuánto dura todo el evento?

Esto es lo que resolví hasta ahora, pero no estoy seguro si me estoy desviando:

Dejar:

  • ρ b , 0 y ρ b , 1 = 1000 k gramo / metro 3 la densidad inicial y final de la bola interior, respectivamente.

  • ρ C , 0 = 8 k gramo r / metro 3 y ρ C , 1 la densidad inicial y final del contenedor exterior, respectivamente.

  • V C = 1.5 metro 3 (el volumen total en el recipiente grande) y V C , 0 y V C , 1 los volúmenes de gas en el recipiente grande respectivamente.

  • V b , 0 y V b , 1 = 0.0005 metro 3 los volúmenes inicial y final en la bola interior.

  • d ρ C d t = 0.1 k gramo / metro 3 / s mi C la tasa de presión cambia en el recipiente grande.

A medida que baja la temperatura de la bola interior, aumenta la densidad y disminuye el volumen de la bola. A medida que la bola interior se encoge, se crea una presión inversa (o vacío) en el gas exterior, lo que hace que la densidad del gas exterior disminuya y, por lo tanto, vemos que la densidad cae en el medidor.

Aquí hay otros hechos que creo que sabemos:

(1) ρ b , o V b , 0 = ρ b , 1 V b , 1
ya que la masa sería constante.

(2) ρ C , o V C , 0 = ρ C , 1 V C , 1

(3) V C , 0 = V C − V b , 0

(4) V C , 1 = V C − V b , 1

Además, la tasa de aumento en la bola interior provoca una tasa de disminución en la bola exterior (no estoy seguro si se expresa correctamente),

(5) d ρ b d t ( V b , 0 − V b , 1 ) = − d ρ C d t ( V C , 1 − V C , 0 )

Supongo que aquí lo único que importa, para saber "cuánto tiempo", es el estado final del sistema en función de t . Así que de alguna manera necesito llevar las expresiones al estado final.

Ahora hacemos sustituciones de (3) y (4) en (5):

(6) d ρ b d t ( ( V C − V C , 0 ) − V b , 1 ) = − d ρ C d t ( V C , 1 − ( V C − V b , 0 ) )

Ahora sustituimos (1) y (2) y el valor de la tasa de cambio:

(7) d ρ b d t ( V C − V C , 0 − V b , 1 ) = − 0.1 ( ( ρ C , o V C , 0 ρ C , 1 ) − ( V C − ( ρ b , 1 V b , 1 ρ b , 0 ) ) )

(8) d ρ b d t = − 0.1 ( ( ρ C , o V C , 0 ρ C , 1 ) − ( V C − ( ρ b , 1 V b , 1 ρ b , 0 ) ) ) ( V C − V C , 0 − V b , 1 )

ρ b , 0 − ρ b , 1 = − 0.1 ∫ 0 t ( ( ρ C , o V C , 0 ρ C , 1 ) − ( V C − ( ρ b , 1 V b , 1 ρ b , 0 ) ) ) ( V C − V C , 0 − V b , 1 ) d t

Y aquí es donde estoy atascado. En primer lugar, no estoy seguro de si tenía suficiente información para empezar con el fin de encontrar todas las respuestas requeridas. Pero eso no es tan importante. La cuestión más importante es si la expresión que tengo hasta ahora es correcta o no. Algo me dice que me metí en problemas.

Muchas gracias por cualquier ayuda que se pueda proporcionar.

Respuestas (2)

  1. En su quinta declaración "Let" " d ρ C d t = 0.1 k gramo / metro 3 / s mi C la tasa de cambios de presión en el recipiente grande", "presión" debe ser "densidad" y hay un error de signo.

  2. Tus ecuaciones 1-4 son correctas, pero es importante determinar qué se sabe y qué se desconoce y analizar cuántas ecuaciones independientes e incógnitas tienes. Además, la masa del gas en la bola es de 0,5 kg.

  3. Debes agregar a tu lista de ecuaciones: ρ C , 1 = 8 k gramo / metro 3 − ( t ) 0.1 k gramo / metro 3 / s mi C . Esto es muy importante porque estás tratando de resolver por tiempo. Aquí puede ver de inmediato que el conjunto de soluciones está limitado a valores entre 0 y 80 segundos, ya que la densidad no puede ser negativa.

  4. No veo ninguna base para tu ecuación 5. En cambio, la tasa de cambio del volumen del gas fuera de la pelota es igual al negativo de la tasa de cambio del volumen de la pelota.

  5. En el equilibrio, la presión en el recipiente y la bola solo diferirán en cualquier fuerza elástica de la bola.

Gracias por su ayuda. He estado esperando ayuda con esto durante bastante tiempo. Déjame asegurarme de que entiendo tu punto 4. ¿Estás sugiriendo, d V a d t = − d V b d t ? Si la densidad de A aumenta a medida que el volumen disminuye y eso hace que el volumen de B aumente y la densidad de B disminuya, ¿por qué no entonces? d V a d t d ρ a d t = − d V b d t d ρ b d t
"¿Está sugiriendo, \frac {dV_a} {dt} = -\frac {dV_b} {dt}", sí exactamente (aunque los subíndices deberían ser b y c en términos de su pregunta original) porque el volumen total es constante ( recipiente rígido).
"por qué no entonces: \frac {dV_a} {dt} \frac {d\rho_a} {dt} = -\frac {dV_b} {dt} \frac {d\rho_b} {dt}" porque eso es decir que el las densidades en cada contenedor cambian a la misma velocidad, lo cual no es cierto. En su lugar, utilice el hecho de que la masa es constante para cada uno de los dos gases, y (volumen)(densidad)=(masa), si desea resolver la tasa de cambio de densidad en términos de tasa de cambio de volumen, o visa viceversa
He publicado la respuesta basada en los consejos que me diste. ¿Podría por favor decirme si está bien? Muchas gracias.
Además, tengo curiosidad. Sé que la ley de Boyle se puede aplicar a uno de los recipientes cuando el recipiente cambia de volumen y presión: V PAG = V ′ PAG ′ . Sin embargo, si el gas fuera el mismo en ambos contenedores, ¿podríamos argumentar que V C PAG C = V b PAG C ?
La ley de Boyle se limita a temperatura constante. Obviamente, la temperatura en la pelota no es constante. La pregunta no establece si la temperatura en el recipiente es constante. La pregunta no indica si el contenedor está o no perfectamente aislado. Solo dice esto sobre la pared de bolas. Tu pregunta original dice que te das cuenta de que es posible que no tengas suficiente información para resolver el problema, pero solo quieres saber si tus ecuaciones son correctas. Además, la densidad final de la bola es la del agua, por lo que la situación no es realista.

Empezamos desde el punto (5) anterior donde las cosas empezaron a salir mal:

(5) d V C d t = − d V b d t

(6) d V C d t = metro C / ( d ρ C d t ) = − metro C 0.1

(7) ∫ V C , 0 V C , 1 d V C = − metro C 0.1 ∫ 0 t d t

(8) V C , 1 − V C , 0 = − metro C 0.1 t

(9) d V b d t = metro b / ( d ρ b d t ) = 0.5 / ( d ρ b d t )

De (5), (6) y (9):

(10) − metro C 0.1 = − 0.5 / ( d ρ b d t )

(11) ∫ ρ b , 0 ρ b , 1 d ρ b = 20 metro C ∫ 0 t d t

(12) ρ b , 1 − ρ b , 0 = 20 metro C t

Y finalmente con:

(13) ρ C , 1 = 8 k gramo / metro 3 − ( t ) 0.1 k gramo / metro 3 / s mi C

Ahora tenemos 3 expresiones en función del tiempo. t , a saber (8), (12), (13). De aquí en adelante, debería ser solo álgebra.

¿Cómo pasaste de 5 a 6? Parece un error de cálculo. V C = metro C / ρ C entonces d V C d t = − ( metro C / ρ C 2 ) ( d ρ C d t )
Problema del sistema de presión versus volumen
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v