Deducción de la ecuación de balance de entropía con entrada y salida de materia por convección (flujo másico)

En muchos libros de ingeniería termodinámica, la ecuación de balance de entropía se escribe como

$\frac{dS}{dt}=\Pi_S+I_S$

$I_S=\sum_{j=1}\frac{\dot{Q}_{j}}{T_j}+\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$

$\frac{dS}{dt}=\Pi_S+\sum_{j=1}\frac{\dot{Q}_{j}}{T_j}+\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$

donde el término "$\Pi_S$" representa la tasa de producción de entropía, que siempre es positiva o igual a cero,$\Pi_S\ge0$, y el término$I_S$significa la tasa de cambio de entropía.$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i$,$\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$son la entropía entrante y saliente respectivamente debido al flujo másico. Dónde$s_i$,$s_e$son la entropía intensiva por unidad de masa.

¿Dónde está el$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$¿viene de? ¿Cómo derivarlo de manera formal? Otros autores como Ansermet, pueden derivar que en realidad$I_S=\frac{\dot{Q}}{T}$pero no la entropía intercambiada por flujos másicos

En el libro "Principios de la termodinámica" de Jean Phillipe Ansermet, se dice que la evolución de la entropía, a escala macroscópica, se puede describir de la siguiente manera:

$\frac{dS}{dt}=\Pi_S+I_S$

Unas páginas atrás, el autor dice que la evolución de la energía interna de un sistema se puede describir como

$\dot{U}=T\dot{S}-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}=P_Q+P_W+P_C$

Dónde$P_Q , P_W, P_C$son la potencia térmica, la potencia mecánica y la potencia química respectivamente. El poder del calor$P_Q$es la misma variable que$\dot{Q}_j$, entonces$P_Q=\dot{Q}_j$. Podemos reescribir la ecuación de evolución de la energía interna en términos de$\dot{S}$.

$\dot{S}=\frac{1}{T}(P_Q+P_W+P_C+P\dot{V}-\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i})$

Los intercambios de entropía ocurren cuando existe transferencia de calor. Por lo anterior, podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:

$\dot{S}=\frac{1}{T}(P_W+P_C+P\dot{V}-\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i})+\frac{P_Q}{T}$

Por tanto, cuando el proceso es reversible no hay producción de entropía.$\Pi_S=0$y no hay intercambio de entropía$I_S=0$. Entonces, podemos deducir el calor reversible, el trabajo mecánico y el trabajo químico.

$\frac{1}{T}(P_W+P_C+P\dot{V}-\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i})=\Pi_S=0$y$\frac{P_Q}{T}=I_S=0$

$P_W=-P\dot{V}\Rightarrow\delta W=P_Wdt=-PdV\Rightarrow W_{if}=\int_i^f\delta W=-\int_{V_i}^{V_f}PdV$

$P_C=\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}\Rightarrow\delta C=P_Cdt=\sum_{i=1}^C\mu_idN_i\Rightarrow C_{if}=\int_i^f\delta C=\int_{N_{i_i}}^{N_{i_f}}\sum_{i=1}^C\mu_idN_i$

$P_Q=TI_S$

En un proceso reversible, podemos reescribir la ecuación de energía interna para obtener otra expresión para$P_Q$

$\dot{U}=T\dot{S}-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}=P_Q+P_W+P_C\Rightarrow T\dot{S}-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}=P_Q-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i} \Rightarrow P_Q=T\dot{S}$

$P_Q=T\dot{S}\Rightarrow \delta Q=P_Qdt=TdS\Rightarrow Q_{if}=\int_i^f\delta Q=\int_{S_i}^{S_f}TdS$

Pero, Ansermet no puede mostrar de dónde viene el$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$viene de.

Además, ¿cómo podemos encajar el término$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$cuando tomamos la forma diferencial de la entropía$dS$?