Problema de gráfico de flujo de señal

Su error: las variables de estado deberían ser las salidas de los integradores. Los has perdido totalmente. Para que quede claro, dibujemos el diagrama con nodos de suma completamente dibujados, donde más de una señal llega al nodo:

Las ecuaciones son ahora un poco diferentes. No hay necesidad de derivar la función de transferencia o ecuaciones diferenciales de orden superior. También es peligroso, porque puede terminar con otra ecuación de variable de estado que da la misma función de transferencia, pero las variables de estado son algo más que las salidas de los integradores del diagrama dado.

Este diagrama de flujo no es nuevo en EESE: ¿ Cómo encontrar las ecuaciones de las variables de estado a partir del gráfico de flujo de señales del sistema?

Desafortunadamente, las respuestas dadas allí son un poco confusas porque no parten directamente de las variables de estado final. Una de las respuestas escribe el mismo texto que yo, pero aún escribe diferentes ecuaciones. Obviamente, hay una tradición de peso pesado que es difícil de matar.

Por cierto, si tienes la ecuación A=A+B y B no es cero, deberías alarmarte. Tu escritura demuestra que ya tienes uno de tus ojos abierto.

La regla de Mason es una buena herramienta que convierte el sistema en una sola función de transferencia. Una vez que obtenga la función de transferencia, puede convertirla a la representación del espacio de estado si y solo si la función de transferencia es adecuada. La regla de Mason se hace de la siguiente manera:

1- Ganancia de bucle

$L_1= -\frac{1}{s}, L_2 = -\frac{1}{s}$.

2-Ganancia de ruta directa

$P_1 = (1)(-1)(1)(-1)(1) = 1.$

3 bucles que no se tocan

$L_1L_2$

La regla de Mason es

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta}$

dónde

$\Delta = 1- (L_1 + L_2) + (L_1L_2) = 1 + \frac{2}{s} + \frac{1}{s^2}$y$\Delta_1 = 1.$

La función de transferencia única es entonces$G(s) = \frac{s^2}{s^2 + 2s^2+1}$. Es claro que la función de transferencia es propia si el grado del polinomio del numerador es menor o igual que el grado del polinomio del denominador. Reescribiendo el sistema, obtenemos

$$(s^2+2s+1)Y(s) = s^2 U(s)$$

En el dominio del tiempo, obtenemos

$$\ddot{y}(t) + 2\dot{y}(t) + y(t) = \ddot{u}(t)$$

La función de transferencia tiene esta forma

$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{ b_0 s^2 + b_1 s + b_0 }{ s^2 + a_1 s + a_2 }$$

La forma canónica controlable se puede utilizar para representar el sistema de la siguiente manera:

$$\begin{align} \dot{x} &= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -a_2 & -a_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u \\ y&= \begin{bmatrix} b_2-a_2b_0 & b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} + b_0u \end{align}$$

dónde$b_0=1,b_1=0,b_2=0,a_1=2,a_2=1$. La representación del espacio de estados del sistema es

$$\begin{align} \dot{x} &= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u \\ y&= \begin{bmatrix} -1 & -2 \end{bmatrix} + u \end{align}$$

Usando Matlab, podemos probar la función de transferencia, por lo tanto, el código es

syms s
num=[1 0 0];
den=[1 2 1];
G=tf(num,den);
step(G)

Ahora probemos la representación del espacio de estados que hemos formado.

b0=1; b1=0;b2=0;
a1=2;a2=1;

A=[0 1; -a2 -a1];
B=[0;1];
C=[b2-a2*b0 b1-a1*b0];
D=b0;
sys=ss(A,B,C,D);
step(sys)

que es el mismo resultado que tenemos.