Problema de colisión de satélites

A menos que me esté perdiendo una manera fácil de resolver este problema, parece sorprendentemente difícil. Este diagrama muestra el problema (he exagerado la altitud del satélite para que el diagrama sea más claro):

Los satélites están en órbitas circulares (línea punteada) a una distancia$r$desde el centro de la Tierra, por lo que su velocidad orbital como (como dices):

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Suponiendo que los dos satélites se pegan entre sí cuando chocan, terminas con una sola masa de metal retorcido de 500 kg que se mueve a cierta velocidad.$v'$eso es menos que$v$. La nueva órbita será una elipse, y la pregunta es si la nueva órbita se cruza con la superficie de la Tierra. Si la nueva órbita no se cruza con la Tierra, los satélites fusionados continuarán en órbita, mientras que si la nueva órbita se cruza con la Tierra, obviamente, los escombros chocarán contra la Tierra.

El primer paso es calcular v', y esto se hace simplemente por conservación de la cantidad de movimiento. En el momento anterior a la colisión, la cantidad de movimiento del satélite de 400 kg es$400v$y el impulso del satélite de 100 kg es$-100v$(Estoy tomando velocidad positiva a la derecha). Después de la colisión, la cantidad de movimiento de los restos es$500v'$, entonces:

$$400v - 100v = 500 v'$$

y obtenemos:

$$v' = \frac{3}{5}v \tag{1}$$

Lo difícil es trabajar en la nueva órbita. Para esto, debe comenzar con la ecuación de vis viva , y rascándose un poco la cabeza, puede calcular la ecuación para la distancia del perigeo ($r_p$en el diagrama):

$$r_p = \frac{r_a}{\frac{2GM}{v'^2r_a} - 1}$$

La pregunta es entonces simplemente si$r_p$es menor que el radio de la Tierra.

Sabes$v'$de la ecuación (1), y$r_a$es solo el radio orbital inicial (medido desde el centro de la Tierra). te lo dejo a ti tu calculas$r_p$y responde la pregunta.

Presentamos un problema secundario a esta pregunta:

Usando$v$para la velocidad orbital en$1000$km de altitud, la energía cinética total de los dos satélites justo antes de la colisión es

$$KE_{\text{Before}}=\frac12400v^2+\frac12100v^2=250v^2$$ y usando la velocidad final de John Rennie arriba, la energía cinética total de los satélites combinados justo después de la colisión es: $$KE_{\text{After}}=\frac12500\left(\frac35v\right)^2=90v^2$$ El $160 v^2$julios de energía perdida se distribuyen como calor sobre el $500 \text{ kg}$satélite. Así, cada kilogramo absorberá $0.320v^2$julios de energía.

La velocidad orbital a una altitud de$1000\text{ km}$sobre la superficie de la tierra se encuentra$7.35\text{ km/sec}$, por lo que cada kilogramo de satélite combinado deberá absorber 17,27 megajulios de energía.

Si asumimos que los dos satélites están hechos de aluminio, esto implica un aumento de temperatura de alrededor$19, 000 \text{ Kelvin}$. Incluso si asumimos que los dos satélites tienen el mismo calor específico alto que el agua, obtenemos un aumento de temperatura de más de$4, 100 \text{ Kelvin}$

Tenemos que hacer algunas suposiciones aquí, porque su pregunta, tal como la planteó, está un poco incompleta.

1) la colisión es inelástica
2) los satélites no se desintegran en la colisión (vea la interesante observación del usuario 58220 )
3) no hay atmósfera (así que la resistencia no es un problema; veamos si los satélites terminan en una órbita sobre la superficie del planeta)
4 ) dijiste "chocar contra la tierra", así que asumo R = 6400 km. El valor de R sí importa

Después de la colisión, la velocidad combinada de los dos satélites (con velocidad inicial$v$) vendrá dada por la conservación de la cantidad de movimiento:

$$(m_1 + m_2) v_{final} = m_1 v_{initial} - m_2 v_{initial}\\ v_{final} = v_{initial}\frac{300}{500}$$

Ahora tienes satélites en el apogeo de una órbita elíptica, y se acercarán a la tierra hasta su punto más cercano, el perigeo. Digamos que la distancia radial en el apogeo fue$R+h_a$, y en el perigeo$R + h_p$.

De la mecánica orbital sabemos que existe una relación entre el semieje mayor de la órbita y la energía orbital:

$$-\frac{\mu}{2a}=\epsilon\tag1$$

Sabemos que la energía orbital disminuyó por la colisión: la energía cinética antes era

$$KE=\frac12(m_1 + m_2)v^2$$

y despues es

$$KE = \frac12\left(\frac{3}{5}\right)^2(m_1 + m_2)v^2$$

En órbita circular, la energía cinética es igual a menos la mitad de la energía potencial; después de la colisión, la energía potencial no cambia (en el instante de la colisión) mientras que la energía cinética disminuyó. Entonces

$$\begin{align}\epsilon_{before}&=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}\\ &= KE_{before} - 2 KE_{before}\\ &= -KE_{before}\end{align}\tag2$$

La energía cinética después es$\frac{9}{25}^{th}$de la energía cinética anterior, por lo que podemos escribir

$$\begin{align}\\ \epsilon_{after} &= (\frac{9}{25}-2)KE_{before}\\ &= -\frac{41}{25}KE_{before}\\ \end{align}\tag3$$

Combinando las ecuaciones (1), (2) y (3) obtengo la relación de los ejes principales:

$$\begin{align}\\ \frac{a_{before}}{a_{after}}&=\frac{\epsilon_{after}}{\epsilon_{before}}\\ &=\frac{25}{41}\\ \end{align}$$

Para la órbita circular podemos decir que$a=2r_a$, mientras que para la órbita elíptica es$r_a+r_p$. Así que ahora tenemos

$$\frac{2r_a}{r_a+r_p}=\frac{41}{25}$$

Con un poco de reorganización esto da

$$r_p = \frac{9}{41}r_a$$

Entonces, cuando el radio de la tierra es de aproximadamente 6400 km y estás orbitando a 1000 km sobre la superficie, seguramente te estrellarás. El planeta más grande en el que esta colisión no daría lugar a la terminación de la órbita tiene un radio de

$$r_{max}=9\frac{1000}{32}=281 km$$

Mi consejo: no dejes que choquen...

Solo puedo suponer que se supone que los satélites se encuentran de frente (en lugar de en ángulo), y que la colisión se modela como inelástica (en lugar de una colisión explosiva donde las piezas vuelan por todas partes).

Si es así, tienes la velocidad de cada uno y la masa de cada uno. Puede usar la conservación del momento para encontrar la nueva velocidad del objeto de masa combinada en lo que será el apogeo.

¿Conoces la ecuación vis-viva? Luego puede usar eso para encontrar otros puntos específicos en la órbita. Habrá otro punto en la órbita que querrás encontrar.

R siempre será del centro de la tierra. Sin embargo, es necesario tener en cuenta el radio de la superficie terrestre. ¿Sabes por qué?

Entonces, después de investigar un poco, se me ocurrió esta respuesta. Como había dicho antes, sabemos que en órbita, la masa de los satélites no importa para encontrar la velocidad. entonces si usamos:

$$v = \sqrt{GM/R}$$ como M es la masa de la tierra, puedo encontrar la velocidad final de ambos satélites después de la comparación. $$Vf = (m2v2 - m1v1)/ (m1 + m2)$$ se me ocurrio 4407.87 m/s

Si llevo esta velocidad final a la primera ecuación y trato de obtener r, puedo compararla con ra y si r es menor, significa que chocará contra la tierra.

$$r = GM / Vf^2$$

Así que encuentro que r es 4527 m según esto, definitivamente se estrellará contra la tierra. porque la ra original era 7378.1 km

¿Tengo razón al suponer esto?