Problema de braquistocrona con ángulo de inclinación y altura limitados

Discutiré aquí la diferencia entre el control puntual de la curva producida por su configuración y el control continuo del problema de la baristocrona, e ignoraré la diferencia entre 'rodar' y 'deslizarse', que es un tema aparte. Esta respuesta también analiza cómo limitar la pendiente y la extensión vertical de la solución. No resuelvo su problema, solo describo el enfoque que tomaría.

La diferencia fundamental entre el control puntual y el control continuo es el espacio funcional sobre el que se actúa.

Supongamos que estamos usando una coordenada espacial horizontal$x$con$a<x<b$, el objeto viaja desde$a$a$b$. En el problema estándar de la baristocrona, consideramos la función de 'altura' de la superficie para 'deslizarse',$h(x)$, para ser una función continuamente diferenciable (excepto en los puntos extremos), con$h(a)=0$,$h(b) = H<0$,$h(x) \leq 0$. Luego definimos algunos funcionales, digamos$T[h]$, en este espacio funcional, que genera el tiempo necesario para deslizarse desde$x=a$a$x=b$. La solución final se encuentra minimizando$T$sobre el espacio permitido$h$.

La diferencia que tiene es que reduce la dimensionalidad de su espacio funcional a la cantidad de puntos de modificación que tenga. Esto reduce su control, pero hace que sea significativamente más fácil imponer restricciones como pendiente limitada y extensión vertical. Dado$n$puntos igualmente espaciados ajustables en

$$x_i = a + i\frac{b-a}{n+1} \quad i \in \{1,2,...,n\}$$ y dos puntos finales fijos en $x_0=a$, $x_{n+1} =b$, definimos funciones $h(x;h_1,h_2,...,h_n)$tal que $$h(x_i;h_1,h_2,...,h_n) = h_i \quad i \in \{1,2,...,n\}$$ $$h(a;h_1,h_2,...,h_n) = 0$$ $$h(b;h_1,h_2,...,h_n) = H$$ de modo que la altura debe tomar un valor dado y especificado en los puntos ajustables, y los valores finales correctos en los extremos. Necesitamos ahora decidir cómo construir los valores de la función de altura entre los puntos ajustables. La forma más sencilla es decidir que la función es lineal entre 2 puntos ajustables/finales cualesquiera, lo que dará una aproximación razonable. Sin embargo, probablemente esté usando algún tipo de 'haz', en cuyo caso use, por ejemplo, this . O podría usar polinomios de orden superior con continuidad de derivadas.

Si deseamos limitar la pendiente, entonces esto corresponde a una restricción

$$|h_{i+1} - h_{i}| \leq \Delta h$$ y si deseamos limitar la extensión vertical entonces esto corresponde a $$h_i \geq h_{min}$$ al menos para un lineal por partes $h$, para una construcción más complicada esto será más difícil.

Finalmente, necesitamos encontrar el tiempo de viaje para un$h$. Para una construcción en particular, el tiempo necesario solo puede ser una función de las alturas ajustables, por lo tanto

$$T[h]=t(h_1,h_2,...,h_n)$$ encontrar los valores óptimos de $h_i$, minimizar $t$sobre los valores permisibles. Encontrar la función $t$corresponde a calcular el tiempo para moverse entre dos puntos ajustables cualesquiera, y encontrar la velocidad a la que pasa sobre el siguiente punto ajustable, de modo que se pueda calcular el tiempo que tarda en recorrer la siguiente sección. Una vez que conozca la función y las restricciones, esto posiblemente se pueda resolver analíticamente, pero lo más probable es que necesite algún procedimiento numérico, digamos resolver en matlab.

Si en realidad no tiene un número finito de puntos ajustables, este procedimiento aún se puede usar, ya que la solución a medida que el número de puntos tiende a infinito será la solución correcta, así que resuelva numéricamente con cien o más puntos ajustables.