Modelado de un cubo rodante

Supongamos que en el ángulo$\alpha=0$, el cubo rebota en el suelo sin disipación de energía. Recuerda que como dices, la rotación ocurre sin ningún deslizamiento. La energía del cubo (cinética más potencial) se conserva así y no se necesita ninguna fuerza externa para mantener su movimiento.

Para este tipo de problemas es conveniente utilizar el formalismo lagrangiano de la mecánica de sistemas restringidos. De hecho, el problema puede reducirse al movimiento del centro de masa que se ve obligado a moverse solo a lo largo de cuartos de círculo; solo debemos no olvidar considerar también la energía cinética de rotación.

Introduzcamos el ángulo$\beta$que es más natural para el sistema:

$$\beta := \alpha + \frac{\pi}{4}$$

Como el movimiento va a ser "periódico", consideraremos sólo$\beta \in \big(\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi\big)$, que corresponden a las configuraciones entre "acostado de lado" y "acostado del lado adyacente". Este sistema es en realidad un péndulo físico , aunque invertido (con el centro de masa por encima del pivote).

Para encontrar la ecuación de movimiento, exprese las coordenadas verticales y horizontales del centro de masa en términos de$\beta$y el lado del cubo,$l$:

$$x = -\frac{l}{\sqrt{2}}\,\cos\beta, \quad y = \frac{l}{\sqrt{2}}\,\sin\beta$$

Calcule sus derivadas temporales para obtener el cuadrado de la velocidad:

$$\dot{x} = \tfrac{l}{\sqrt{2}}\,\dot{\beta}\sin\beta$$ $$\dot{y} = \tfrac{l}{\sqrt{2}}\,\dot{\beta}\cos\beta$$ $$v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = \frac{l^2}{2}\,\dot{\beta}^2$$

Conociendo el momento de inercia del cubo

$$I = \frac{ml^2}{6}\,,$$ expresar la energía cinética y potencial $$T = \frac{1}{2}\left(mv^2 + I\dot{\beta}^2\right) = \frac{ml^2}{3}\,\dot{\beta}^2$$ $$V = mgy = \frac{mgl}{\sqrt{2}}\,\sin\beta$$ para obtener el lagrangiano $L = T - V$.

La ecuación de Lagrange para nuestro grado de libertad$\beta$lee:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\dot{\beta}} - \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\beta} = 0$$

Específicamente,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{2ml^2}{3}\,\dot{\beta}\right) + \frac{mgl}{\sqrt{2}}\,\cos\beta = 0$$

o, en otras palabras

$$\ddot{\beta} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}\frac{g}{l}\,\cos{\beta}$$

Esta es esencialmente la ecuación del péndulo matemático . Se puede integrar para reducir el orden en uno:

$$\dot{\beta}^2 + \frac{3}{\sqrt{2}}\frac{g}{l}\,\sin\beta + C = 0$$

y resuelto ya sea explícitamente usando funciones especiales, o numéricamente.

Editar: para que el cubo sobrepase el borde y realmente ruede en lugar de balancearse, uno debe elegir una velocidad inicial suficientemente alta, codificada en C.

Este es un problema complejo, así que en lugar de intentar sugerir una solución integral, veamos las fuerzas en juego:

En rojo está el vector de fuerza que haremos para que actúe como la fuerza impulsora$F$, en negro la gravedad, en verde la fuerza Normal y en violeta la fuerza de rozamiento (ninguno está a escala).

En primer lugar, sin que actúen otras fuerzas en el$y$-dirección (vertical), la fuerza Normal es siempre la fuerza reactiva del piso (necesaria para evitar que el cibe se hunda en el piso) a la gravedad:

$$F_N=mg$$

La fricción ahora resistirá el movimiento en el$x$-dirección (horizontal) y generalmente se modela como:

$$F_F=\mu F_N=\mu mg,$$ dónde $\mu$es un coeficiente de fricción.

Para evitar deslizamientos:

$$F_F>F\implies \mu>\frac{F}{mg}$$ $F$y $mg$ahora ejerza pares opuestos sobre el punto de pivote $P$, con par neto :

$$\big(\tau_{net}\big)_{\alpha=\pi/2}=Fa-mg\frac{a}{2}$$

Si$\tau_{net}>0$entonces se producirá una aceleración angular en el sentido de las agujas del reloj.

Esto nos permite también definir mejor$\mu$, ya que el caso límite es:

$$F=\mu mg \:\text{and }F=\frac{mg}{2}$$

Entonces el valor mínimo es:

$$\mu>0.5$$

La aceleración angular se trata más fácilmente como un problema de conservación de la energía, ya que el trabajo realizado por$\tau_{net}$es igual al cambio en la energía cinética (rotacional) $\Delta K$:

$$W=\int_{\pi/2}^0\tau_{net}(\alpha)d\alpha=\Delta K$$

De la trigonometría:

$$\tau_{net}(\alpha)=F\sqrt{2}a\sin\big(\alpha +\frac{\pi}{4}\big)-mg\frac{\sqrt{2}}{2}a\sin\Big(\alpha-\frac{\pi}{4}\Big)$$

Al integrar tenemos:

$$W=\sqrt{2}aF=\frac12 I\omega^2$$

(El$mg$el término desaparece porque no hay cambio en la energía potencial$U$encima$\pi/2\to 0$)

Así que al final de la 'caída':

$$\omega=\sqrt{\frac{2\sqrt{2}aF}{I}}$$

Pero como el cubo ahora tiene energía cinética y el vector de velocidad tangencial apunta directamente hacia abajo, el cubo tiene que rebotar . Ni la fricción ni la fuerza.$F$puede prevenir eso.

Algo como esto:

1. Acumule la rotación del centro de masa.
2. Calcule propina o resbalón. Si se desliza, entonces no acumulará rotación sino que se deslizará.
3. Después de la rotación, conviértalo todo nuevamente en traducción para el siguiente cálculo de punta o deslizamiento (donde se reconvertirá nuevamente en una posible rotación) (que resuelve el problema de la regla deslizante).

Pero esto es solo un pensamiento aproximado, sin embargo, es bueno y podrías aplicarlo a cualquier forma en general.