Problema con la derivación de fonones en cristal.

derivación de fonones

En esta derivación de soluciones de fonones, en todas partes, asumimos con fuerza las características de onda a lo largo de la cadena. Si bien todo lo que podemos deducir para encontrar las frecuencias fundamentales es que la solución será periódica en el tiempo, y la solución debe ser de la forma Exp ⁡ ( i ω t ) , no entiendo cómo los derivados llegan directamente a Exp ⁡ ( i k X − i ω t ) . Ese está en Kittel.

En la figura de abajo, Aquí también, de alguna manera, q se ha intervenido deliberadamente vinculándolo a la distancia. PD: norte es una medida de la distancia a lo largo de la cadena.

¿Enfoque? Probablemente, la mejor manera sería derivar las soluciones generales diagonalizando la forma matricial de estas ecuaciones.
Sí. La forma matricial se puede lograr sustituyendo X norte con Exp ⁡ ( i w t ) . El problema es que solo dará ω soluciones Mi duda es, ¿cómo podrían asumir la periodicidad a lo largo de la cadena en el exponencial? Creo que todo lo que podemos predecir es que existen frecuencias propias y que la solución será periódica en el tiempo.
Estoy de acuerdo con eso. La solución presentada en libros de física fenomenológica como Kittel no es una teoría de solución completa de estas ecuaciones. No prueba que las soluciones que dan sean todas las soluciones que existen. Personalmente nunca me gustó mucho el libro de Kittel... probablemente porque tuve que aprenderlo como una biblia más que por entender para pasar el examen en esa clase. En cuanto a las soluciones... por supuesto que hay soluciones no periódicas para estas ecuaciones. Puede encontrar algunos de ellos por superposición lineal de soluciones armónicas con proporciones no racionales entre frecuencias individuales.
Las proporciones irracionales son interesantes. ¿Puede citar una fuente para obtener una solución detallada a este problema y problemas como estos?
No tengo un documento que pueda citar sobre la teoría de la solución completa de estas ecuaciones... Espero que algunos de los teóricos puedan ayudarlo con eso. ¡Buena suerte!
Su pregunta es ¿cómo llegar a esa solución? ¿Qué tiene de malo adivinar y comprobar? Es una suposición razonable que las soluciones deberían ser ondulatorias, así que esa es la suposición, y cuando se conecta a las ecuaciones de movimiento, la suposición resulta ser correcta. Tenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales, y probablemente haya algún teorema que diga que las soluciones son únicas (hasta alguna constante), por lo que la conjetura es la solución.

Respuestas (2)

No hay nada de malo en buscar soluciones similares a ondas planas de la forma A Exp ⁡ ( i ( ω t − k X ) ) . Dada la linealidad de las ecuaciones, y como señaló @ignacio el hecho de que la Exp ⁡ ( i k X norte ) formar una base de soluciones, puede escribir una solución más general como una combinación de estas ondas planas. Esta solución no es necesariamente periódica (piense en un paquete de ondas que se propaga con un pico en una determinada posición en el espacio, por ejemplo).

Para una cadena infinita con condiciones de contorno periódicas, tienes norte simetría de traslación. Esto significa que puede buscar una base de soluciones cuyo norte la dependencia es mi i k norte . Las condiciones de contorno te obligan a k = metro 2 π norte con metro = 0 .. norte − 1

Problema con la derivación de fonones en cristal.
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v