Con n personas en una mesa, ¿cuál es la probabilidad de que x de ellas reciban pares de bolsillo? Hay varias formas fáciles de aproximarse a esto, pero me preguntaba si había una solución elegante. ¿Ningún arrendatario?
Supongo que el valor nes razonable para una mesa de póquer (n = [2, 10]). En este caso, no será relevante para el resultado.
Empiezas con 52 cartas.
Le das una carta al primer jugador. La probabilidad de que la segunda carta que le des tenga el mismo valor para que le salga un par de mano es: 3 / 51(las 3 cartas del mismo valor que quedaron del total de 51 cartas restantes).
Después de esto, puede repetir el mismo razonamiento para el segundo jugador: primeras cartas y 3 / 49la posibilidad de que la segunda sea del mismo rango.
Extrapolando a xlos jugadores, obtienes la siguiente fórmula (en pseudocódigo):
probability = 1
for i = 1 to x
probability = probability * (3 / (52 - 2 * i + 1))
Como dije: nes irrelevante en este cálculo. Y esto tiene sentido, si lo piensas.
El problema con esta fórmula es que no tiene en cuenta la situación en la que la carta correspondiente a la que obtienes ya se repartió a otro jugador. Pero simplemente no hay manera de saber eso... (o tal vez la hay, pero es demasiado complicado).
PD: Aplicar la fórmula a 3 jugadores te da 1 / 4350. No es tan improbable. En realidad, es suficientemente probable que haya hecho que esto realmente suceda.
Los cálculos probablemente se salgan de control, por lo que una estimación de Monte Carlo probablemente sea la forma más fácil de obtener la respuesta. Una forma de aproximar la respuesta es simplemente asumir que hay una probabilidad de 1/17 de que alguien obtenga un par. (si considera 14 personas en el juego, puede ver por qué esto no es exacto).
Se aplicaría la distribución binomial, con n = número de jugadores, x = número con un par. p = probabilidad de un par = 1/17. q = probabilidad no par = 1-p = 16/17.
probabilidad x con par = n elige x * p^x 8 q^(nx); donde n elige x = n!/(x!*(nx)!)
y más x! = x factorial = x*(x-1)*(x-2)...3*2*1.
Usaré n = 10.
Sin pares = (16/17)^10 = 0,545 Acumulativo = 0,545
1 par = 10*16^9/17^10 = 0,341 Acumulativo = 0,886
El resto lo hice con una hoja de cálculo.
2 pares = 0.096 acumulativo = 0.982
3 pares = 0.016 acumulativo = 0.998
4 pares = 0.0017 acumulativo = 0.9999
5 pares = 0.00013 acumulativo = 0.99999
6 pares o más = nada probable; acumulado aprox. 100%.
El "acumulativo" es la probabilidad acumulada de tantos pares o menos.
norte = 9
0 = 0,549
1 = 0,326
2 = 0,081
3 = 0.012 cum 0.9988
norte = 6
0 = 0,695
1 = 0,261
2 = 0,041
3 = 0,003 cum = 0,9998
norte = 4
0 = 0,875
1 = 0,196
2 = 0,018
3 = 0,0008 cum = 0,99999
Solo desde lo alto de mi cabeza, diría: creo que los cálculos de Radu Murea están bastante bien, sin embargo, creo que realmente es obligatorio calcular que alguien más puede recibir la segunda carta que podría formar tu pareja. Podrías hacerlo en 2 pasos:
Primero recibimos cualquier carta (digamos un 6). Entonces, ¿cuál es la probabilidad de recibir otros 6 de ese mazo? 3/51 ya que quedan 3 seises y 51 cartas en la baraja. Si estuvieras jugando con n jugadores, sería n veces 3/51 (1/17). Digamos que juegas con 7 personas, eso sería una probabilidad de 7/17. Sin embargo, debemos eliminar el hecho de que otras personas también podrían obtener sus tarjetas...
Si juegas con n jugadores (digamos 5), primero habría una probabilidad de 3/51, luego 3/50, luego 3/49 y luego 3/48 de que uno de los jugadores obtenga tu carta. Una vez que reciba su segunda tarjeta, tendrá 3/47 de posibilidades (si su tarjeta aún no se ha ido) de recibir un bolsillo.
Entonces, calculando ambos juntos, diría que la posibilidad de obtener un par de bolsillo con n jugadores es de: n/17 - n * 3/(51 - n/2 + 1)
Por supuesto, no estoy seguro de si esto es correcto. Es algo que se me ocurrió en la cabeza, así que...
EDITAR: estoy 100% seguro de que mis cálculos son incorrectos. Tal vez alguien pueda afinar esto. También lo pensaré con lápiz y papel.
Esta es solo una copia de Guest Geek con más detalles. Lo probé yo mismo. Dale el cheque al geek invitado.
Resulta que esta es una distribución binomial
La distribución binomial es la distribución de un número total de éxitos en un número determinado de pruebas de Bernoulli. La notación común es b(k; n, p), donde k es el número de éxitos, n es el número de intentos, p es la probabilidad de éxito.
Sabemos que b(k; n, p) = C(n, k) xp^kx (1 - p)^(n - k)
C(n, k) xp^kx (1 - p)^(n - k) C es combinación
x es multiplicar
^ es potencia
p es probabilidad de par de mano = 1/17
n es número de manos = 10 k es número de manos con par de bolsillo
k probability cumulative
0 0.5453943226371 0.5453943226371
1 0.3408714516482 0.8862657742854
2 0.0958700957761 0.9821358700614
3 0.0159783492960 0.9981142193574
4 0.0017476319543 0.9998618513117
5 0.0001310723966 0.9999929237083
6 0.0000068266873 0.9999997503956
7 0.0000002438103 0.9999999942058
8 0.0000000057143 0.9999999999201
9 0.0000000000794 0.9999999999995
10 0.0000000000005 1.0000000000000
El acumulado que converge a 1 indica que es correcto. Bueno, si no totalizara 1.0, indicaría que está mal.
Me sorprende lo rápido que se cae.
patton