Probabilidad de obtener full house en el póquer de cinco cartas cuando faltan cartas en la suite

Esto parece una estrategia válida, pero no veo dónde está el${8\choose 5}{1\choose 1}$vino de.

Los full house se pueden clasificar en cuatro categorías: (1) tanto pareja como trío de uno de los rangos con una carta faltante, (2) solo pareja, (3) solo trío, (4) ninguno

(1) Tenemos 5*4 opciones para los rangos. Para la pareja, falta una carta, dejando tres cartas como opciones. Como estamos formando un par, necesitamos elegir dos de esos tres para estar en el par, que es lo mismo que elegir uno de los tres para no estar en el par, así que son 3 opciones. Para los tríos, como solo quedan tres cartas, tenemos que tomar esas tres cartas, dando 1 opción para los tríos, para un total de 5*4*3=60.

(2) Tenemos 5 opciones para el rango de pareja, 8 opciones para el rango de trío. Hay 3 opciones para el par y 4 opciones para el trío. 5*8*3*4=480.

(3) 8 opciones por pareja, 5 por trío. 6 opciones para pareja, 1 para trío. 8*5*6*1 = 240.

(4) 8*7 opciones para los rangos, 6 opciones para pareja, 4 opciones para trío. 8*7*6*4 = 1344.

totales: 2124.

Es un método válido pero${8 \choose 5}{1 \choose 1}$no es el número de manos a quitar. El número de casas llenas que incluyen el corazón.$2$es${3 \choose 2}{12 \choose 1}{4 \choose 2}$que lo incluyen como parte del trío más${3 \choose 1}{12 \choose 1}{4 \choose 3}$que lo incluyan como parte del par, por un total de$360$. Lo mismo se aplica a todas las demás tarjetas, por lo que podríamos pensar que deberíamos eliminar$5\cdot 360=1800$manos. El problema es que hemos quitado dos veces las que incluyen dos de las cartas que faltan.

El número de casas llenas que contienen el$2$de corazones en el triplete y el$5$de corazones en el par es${3 \choose 2}{3 \choose 1}=9$. Hay$20$formas de elegir los dos rangos para que falten cartas de cada uno, por lo que debemos agregar$180$. Este es un ejemplo del principio de inclusión-exclusión.

Por lo tanto, eliminamos$1800-180=1620$full house porque nos faltan las cinco cartas.