Interpretación combinatoria de sumas alternas que involucran coeficientes binomiales

Reordenemos la fórmula como$\sum_{j=0}^{r}(-1)^{j}{m+r\choose m+j}{m+j\choose m}=0$. podemos interpretar${m+r\choose m+j}{m+j\choose m}$como el número de formas de elegir un primer equipo de$r-j$personas y luego elegir un segundo equipo de$j$personas de un grupo de$m+r$gente. La igualdad nos dice que el número total de vías cuando el número de integrantes del primer equipo es par es igual a cuando el número de integrantes del primer equipo es impar. Y es verdad Imagina que hay un primer equipo y un segundo equipo, de modo que el número de miembros del primer equipo es par. Suponemos que todas las personas son de distintas edades, elegimos a la persona más joven en la unión del primer y segundo equipo, y lo reasignamos al segundo equipo si estuvo en el primer equipo, y viceversa. Entonces obtendremos un arreglo para los equipos tal que el número de miembros en el primer equipo sea impar. Esto nos da una correspondencia uno a uno, y prueba la igualdad.

A tu pregunta adicional, la igualdad$\sum_{i=k}^n (-1)^{i-k} \binom{i}{k} \binom{n+1}{i+1}=1$está hablando algo sobre la cantidad de formas de elegir$n-i$gente para formar el primer equipo, luego en el resto del$i+1$gente, ya no consideramos a la persona más joven y elegimos$i-k$gente para formar el segundo equipo. Pero diría que en realidad es lo que describieron en la respuesta elegida, donde no consideraron a las personas sino a las letras en orden, también pueden imaginar que podemos ordenar a todas las personas por edades, entonces en realidad todo es más o menos lo mismo.