Principio de relatividad - una segunda forma equivalente, usando invariantes

Por lo que sé, es posible que pueda hacer eso, pero no estoy del todo seguro de lo que cuenta. Por ejemplo, considere el intervalo invariante$s^2$, es invariante. y la ecuacion$s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta y^2$, tiene la misma forma en todos los marcos inerciales, por lo que tenemos un lado derecho covariante para calcular el lado izquierdo invariante. Así que ahora, cuando vemos una expresión covariante que tiene el lado derecho de arriba, podemos reemplazar esa expresión con la invariante del lado izquierdo de arriba. Entonces, tal vez su pregunta sea sobre si podemos tomar todas las expresiones covariantes conocidas que se usan en las leyes de la física y encontrar invariantes apropiados para reemplazarlas. Y con suerte evitar reducir a una tautología como A=A que significa que enterramos toda la física real en nuestras definiciones de nuestros invariantes. No es del todo tonto, ya que la desviación de las leyes de la física se puede expresar de forma covariante, por lo que si hiciera un invariante para cada desviación$D_i$, entonces las leyes invariantes de la física podrían ser$0=D_i$, con todas las cosas importantes que suceden en las definiciones de los diversos$D_i$.

Pero déjame decirte además cuánto trabajo podría ser necesario, ya que das un ejemplo de lagrangianos. En The Clásica Theory of Fields de Landau y Lifshitz, página 48, ecuación 16.1, escriben$S=\int mcds-\frac{e}{c}A_idx^i$para la acción que parece agradable e invariable, pero es solo una acción, no una ley de la física. Pero luego en la ecuación 16.4 dan el Lagrangiano$L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+\frac{e}{c}A\cdot v-e\phi$, que no es invariante (quieren$S=\int L dt$). Entonces, su ejemplo prototípico de cómo hacer su programa en sí mismo requeriría trabajo.

Dicho esto, es posible que ya se haya hecho, a la gente le gusta trabajar en versiones geométricas de la física. O incluso tomar la acción y simplemente decir que quieres un camino que lo extremice podría ser suficiente.