Pregunta sobre el intervalo de espacio-tiempo en la aceleración en la relatividad especial

En relatividad especial, el intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos se puede representar mediante la ecuación

$${\Delta_s}^2={\Delta_x}+{\Delta_y}^2+{\Delta_z}^2-c^2{\Delta_t}^2$$ con ${\Delta_s}^2$siendo el intervalo de espacio-tiempo entre los dos eventos, $\Delta_x$siendo la distancia entre los dos eventos en la dimensión x, $\Delta_y$siendo la distancia entre los eventos en la dimensión y, ${\Delta_z}$siendo la distancia entre los dos eventos en la dimensión z $c$siendo la velocidad de la luz, y $\Delta_t$siendo la distancia entre los puntos en la dimensión del tiempo.

En un espacio euclidiano 4d la fórmula de la distancia es

$${\Delta_d}^2={\Delta_x}^2+{\Delta_y}^2+{\Delta_z}^2+{\Delta_w}^2$$ y si pones números reales para $\Delta_x$, $\Delta_y$, y $\Delta_z$, y también $0$o un número imaginario puro para $\Delta_w$, entonces ${\Delta_x}^2$, ${\Delta_y}^2$, y ${\Delta_z}^2$son todos positivos, mientras que ${\Delta_w}^2$cualquiera $0$o negativo, similar a cómo ${\Delta_x}^2$, ${\Delta_y}^2$, y ${\Delta_z}^2$son todos positivos mientras $c^2{\Delta_t}^2$es cualquiera $0$o negativo en relatividad especial.

Esto significa que el espacio-tiempo de cuatro dimensiones también se puede describir como tres dimensiones reales que representan el espacio y una dimensión imaginaria del tiempo, por lo que podemos sustituir en${\Delta_w}^2$para$-c^2{\Delta_t}^2$y tiene$\Delta_w$ser siempre cualquiera$0$, o un número imaginario puro para hacer${\Delta_w}^2$negativo. Entonces, el intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos ahora se puede representar como

$${\Delta_s}^2={\Delta_x}^2+{\Delta_y}^2+{\Delta_z}^2+{\Delta_w}^2$$ y obtendremos los mismos resultados que obtendríamos utilizando la ecuación anterior para el intervalo de espacio-tiempo.

Se puede decir que todo, moviéndose más lento que la velocidad de la luz, tiene la misma tasa de cambio en el espacio-tiempo con la tasa total de cambio en el espacio-tiempo, para todas las partículas, representada por la ecuación

$${\iota_s}^2={\iota_x}^2+{\iota_y}^2+{\iota_z}^2+{\iota_w}^2$$ con $\iota_s$siendo la tasa total de cambio en el espacio-tiempo, $\iota_x$siendo la tasa de cambio en la dirección x, $\iota_y$siendo la tasa de cambio en la dirección y, $\iota_z$siendo la tasa de cambio en la dirección z, y $\iota_w$siendo la tasa de cambio en la dirección w. $\iota_x$, $\iota_y$, y $\iota_z$son todos números reales, mientras que $\iota_w$es un número imaginario y $|\iota_w|\ge\sqrt{{\iota_x}^2+{\iota_y}^2+{\iota_y}^2}$.

Esto también significa que diferentes marcos de referencia pueden describirse como rotaciones imaginarias puras en el espacio-tiempo con el ángulo del espacio-tiempo entre dos líneas universales a y b, representado por la ecuación

$$arctan\left(\frac{i\sqrt{{\Delta_v}^2}}{c}\right) \;=\theta$$ con $\Delta_v$siendo la velocidad que tienen las líneas de mundo a y b entre sí, y $\theta$siendo el ángulo del espacio-tiempo entre las dos líneas del mundo. Entonces, el ángulo del espacio-tiempo entre dos líneas de universo es siempre imaginario y el ángulo del espacio-tiempo entre la línea de universo de una partícula masiva y la línea de universo de una partícula sin masa es $i{\infty}$.

Si hay dos líneas universales g y f, y g está en un marco de referencia inercial y f está en un marco de referencia no inercial, y f está acelerando a una tasa constante en relación con g, entonces el ángulo de espacio-tiempo imaginario puro entre g y f cambiará a una tasa constante en el marco de referencia de f.

En el espacio euclidiano, siendo todas las dimensiones reales, si el ángulo entre algo que se mueve a una velocidad constante a través del espacio y una línea recta que no se mueve cambia a una velocidad constante y en una dirección constante, entonces esto es algo que se mueve se mueve en un círculo y hay un punto en el espacio, en el que la distancia entre este punto y cada punto en el círculo es la misma.

En la relatividad especial, un objeto que acelera a una tasa constante traza una hipérbola en el espacio-tiempo y así como la ecuación paramétrica de un círculo, o cualquier tipo de elipse, usa el seno y el coseno, la ecuación paramétrica de una hipérbola usa el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico, y$cosh(x)=cos(ix)$, mientras$isinh(x)=sin(ix)$. Tal como$cos^2(x)+sin^2(x)=1$,$(isinh(x))^2+(cosh(x))^2=1$

Entonces, en la relatividad especial, si un objeto acelera a una velocidad constante para siempre, ¿hay un punto en el espacio-tiempo en el que el intervalo de espacio-tiempo entre ese punto y cada punto en la línea del mundo de los objetos sea el mismo?