¿En qué sentido es única la descomposición quiral de los espinores?

Podemos descomponer un campo de espinor ψ = ψ L + ψ R dónde ψ L = 1 2 ( 1 − γ 5 ) ψ y ψ R = 1 2 ( 1 + γ 5 ) ψ . (Creo que esto se debe a que el álgebra de Clifford tiene representaciones completamente reducibles). ¿Es esta la única manera de descomponer el espinor en partes izquierda y derecha? O, más bien, ¿hay alguna otra forma de que escribamos ψ = ψ L + ψ R ?

Los espinores izquierdo y derecho se definen de esa manera, y la estructura explícita de ellos también depende de la representación de las matrices gamma utilizadas.
La forma en que lo escribiste, tenemos ψ = ψ L + ψ R . Pero también podemos escribir a ψ L = 1 2 ( 1 − γ 5 ) ψ y de manera similar para ψ R . Entonces tenemos una combinación lineal ψ = a ψ L + b ψ R . Además, como se mencionó por vistazo, la representación que usamos es importante. a , b son coeficientes constantes complejos.

Respuestas (1)

Los espinores zurdos y diestros se definen como estados propios de γ 5 con valores propios − 1 y + 1 respectivamente. El espacio vectorial de estados espinores es una suma directa del subespacio de estados de espinores zurdos y el subespacio de espinores derechos. los operadores PAG L = 1 2 ( 1 − γ 5 ) y PAG R = 1 2 ( 1 + γ 5 ) son los únicos proyectores en estos subespacios. Por lo tanto, la descomposición de un espinor en sus partes derecha e izquierda es única y se pueden obtener las partes derecha e izquierda actuando sobre el espinor con los proyectores. PAG L y PAG R .

Para comprobar las declaraciones anteriores

  1. Comprueba eso γ 5 tiene valores propios ± 1 .
  2. Muestra esa PAG L y PAG R cumplir PAG L 2 = PAG L y PAG R 2 = PAG R (la definición de proyectores).
  3. Muestra esa γ 5 PAG L ψ = − PAG L ψ y γ 5 PAG R ψ = PAG R ψ para cualquier ψ lo que le dice que los proyectores efectivamente proyectan en los espacios propios deseados.

Para estos tendrás que usar ( γ 5 ) 2 = 1 .

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