La teoría del campo conforme no tiene... ¿simetría conforme?

Esta publicación es sobre 1+1d. A menudo se dice que la teoría del campo conforme tiene una simetría de dimensión infinita generada por el álgebra de Virasoro:

[ L norte , L metro ] = ( norte − metro ) L norte + metro + C 12 norte ( norte 2 − 1 ) d norte + metro , 0 .
(Del mismo modo para la rama anti-holomórfica con generadores L ¯ norte .)

Pero (al menos en cuantización radial) el hamiltoniano es H = L 0 + L ¯ 0 . Obviamente, esto no conmuta con los generadores anteriores, ya que [ L norte , L 0 ] = norte L norte .

En otras palabras, parece que el álgebra de Virasoro funciona como un 'álgebra generadora de espectro' (ya que L norte mapas de espacios propios de H a los espacios propios de H ), en lugar de como una simetría? ¿Estoy malinterpretando algo?

Hola Ruben, creo que esto es físicamente razonable, ya que el L norte son deformaciones de la forma del círculo (por ejemplo, L_2 es ​​una deformación elíptica), por lo que cambiarán la densidad de energía. Solo las simetrías del espacio-tiempo que preservan la división espacial pueden actuar sobre el espacio de Hilbert. ¡Entonces los impulsos tampoco actúan en el espacio de Hilbert!
@RyanThorngren ¡Hola, Ryan! Gracias por el comentario. ¿Qué quiere decir con 'no actúa en el espacio de Hilbert'? Después de todo, todo L norte tener una acción bien definida en el espacio de Hilbert, ¿verdad? (De hecho, los usamos para construir nuestro espectro).
@RyanThorngren, ¿espera qué? ¿Quiere decir que tiene diferentes espacios de Hilbert para diferentes cortes, y los impulsos lo llevan entre esos? Si es así, creo que se debería decir que la invariancia de Lorenz significa que hay un isomorfismo separado entre todos estos espacios, y por composición se puede definir una acción de generadores de impulso en un espacio fijo de Hilbert.

Respuestas (1)

El álgebra de Virasoro es una verdadera simetría de la teoría, en el sentido de que la acción de una teoría de campo conforme es conformemente invariante si existe, y en el sentido de que los elementos del álgebra asignan soluciones a las ecuaciones de movimiento (cuánticamente: estados propios del hamiltoniano) a soluciones de las ecuaciones de movimiento.

Sin embargo, los generadores de hecho no conmutan con el hamiltoniano porque corresponden a transformaciones dependientes del tiempo. [ q , H ] = 0 es solo la condición para una simetría si la simetría no transforma la coordenada de tiempo; la declaración para un generador de simetría clásica dependiente del tiempo es [ q , H ] + ∂ t q = 0 .

Tenga en cuenta que la simetría infinitesimal clásica la L norte corresponder a es z ↦ z + ϵ z norte + 1 , y desde z es una mezcla de coordenadas temporales y espaciales, el generador L norte = z norte + 1 ∂ z es explícitamente dependiente del tiempo y no se puede esperar que los generadores cuánticos conmuten con el hamiltoniano.

Exactamente lo mismo es cierto en una teoría mucho menos confusa: Los generadores de impulso de Lorentz, cuya expresión clásica t ∂ X i − X i ∂ t también es explícitamente dependiente del tiempo, ¡tampoco conmuta con el componente cero del impulso, el hamiltoniano!

+1 bien escrito! Inserté una breve discusión (desde un punto de vista general que no se refiere al álgebra de Virasoro) sobre este punto en las notas de clase de uno de mis cursos del último semestre www.science.unitn.it/%7Emoretti/MFQM.pdf de la p. 238 en.
Buena respuesta, gracias! Tiene mucho sentido. Esto también debería dar una respuesta a la pregunta de si el estado fundamental de una CFT rompe espontáneamente la simetría conforme (esto fue afirmado por Maldacena y Stanford: physics.stackexchange.com/questions/302026/… ). Su argumento implica: el sistema no lo rompe espontáneamente, sino que se puede decir que cualquier elección de segmento de tiempo oculta la simetría.
@RubenVerresen Efectivamente. La noción estándar de "ruptura de simetría espontánea" solo tiene sentido para simetrías independientes del tiempo.
@RubenVerresen El estado fundamental de un CFT no es invariante bajo la simetría de Virasoro. Por lo tanto, la simetría de Virasoro se rompe espontáneamente. Si el vacío fuera invariable, uno necesariamente tendría C = 0 y además la teoría sería topológica.
Además, esta respuesta es demasiado clásica. En teoría cuántica, cualquier operador unitario (o, infinitesimalmente, operador hermitiano) puede llamarse simetría. Está bien que las simetrías no se conmuten entre sí (para que tenga un grupo de simetría no abeliano). Por supuesto, hay toneladas de operadores unitarios poco interesantes; el criterio de si son interesantes es la simplicidad de su acción sobre los operadores locales y otros objetos naturales (tal simplicidad le permite usarlos para restringir cosas).
Para una discusión sobre la ruptura espontánea de simetrías que no conmutan con H ver arxiv.org/abs/hep-th/0110285 .
@PeterKravchuk La noción de que una "simetría" es cualquier operador unitario es simplemente una definición diferente de lo que es una simetría, y este uso aparece, por ejemplo, en el teorema de Wigner. Pero, por ejemplo, la "simetría" en "ruptura de simetría" no es esa noción de simetría (el documento que vincula es bueno: hablan explícitamente sobre simetrías espacio-temporales y tampoco usan su noción de simetría).
@PeterKravchuk ¡Gracias por intervenir! "El estado fundamental de una CFT no es invariable bajo la simetría de Virasoro. Por lo tanto, la simetría de Virasoro se rompe espontáneamente". Normalmente estaría de acuerdo, pero es el estado fundamental de un hamiltoniano. H = L 0 + L ¯ 0 y este hamiltoniano en sí mismo no conmuta con L norte . Seguramente si el hamiltoniano no tiene la simetría, no deberíamos esperar que el estado fundamental la tenga, ¿verdad? Dicho de otra manera, simplemente parece que el hecho de que el espacio de Hilbert prefiera un segmento de tiempo dado es la razón por la que la simetría parece rota, ¿verdad?
@ACuriousMind, "romper la simetría" se refiere a las expectativas de uno sobre un sistema, que dependen de a quién le pregunte. En cualquier caso, la razón por la que vinculé el documento analiza la ruptura espontánea de, por ejemplo, simetría conforme, que no conmuta con las traducciones.
@RubenVerresen. En un QFT relativista, los aumentos no conmutan con el hamiltoniano, pero el vacío es invariante bajo todas las simetrías de Poincaré.
La teoría del campo conforme no tiene... ¿simetría conforme?
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