Unión estrecha en el límite del tamaño del sistema grande

Supongamos que uno tiene un hamiltoniano continuo con interacción espín-órbita, por ejemplo

$H=-\dfrac{\mathbf{p}^2}{2m} +\kappa({\boldsymbol\sigma}\times\mathbf{p}) + U(x)$

y quiere aproximarse a este hamiltoniano con un modelo discreto de unión estrecha. Esto se puede hacer con el método de diferencias finitas (por ejemplo, Datta, Quantum Transport), usando la sustitución

$(\partial^2_x \psi)_{x=x_n} \rightarrow \frac1{a^2}[\psi(x_{n+1}-2\psi(x_n)+\psi(x_{n-1})]$

$(\partial_x \psi)_{x=x_n} \rightarrow \frac1{2a}[\psi(x_{n+1}-\psi(x_{n-1})]$

Supongamos ahora que uno tiene el problema opuesto, es decir, tiene un hamiltoniano de enlace estrecho y quiere obtener información sobre el sistema en el límite continuo. Solo como ejemplo, considere el hamiltoniano de unión estrecha

$H=\sum_{i=1}^N\sum_{ss'} \delta_{ss'} [u(r_i)-\mu] a^\dagger_{is} a_{is} + \delta_{ss'} t a^\dagger_{is} a_{i+1,s} + \imath\alpha\sigma^y_{ss'} a^\dagger_{is} a_{i+1,s'} + \text{h.c.}$

dónde$s$y$t$son los índices de espín. Este hamiltoniano es en el caso general no solucionable analíticamente, ya que los parámetros y$u(r_i)$puede depender de los sitios de red (por ejemplo, el sistema puede contener una o más impurezas).

Sin embargo, para finitos$N$uno siempre puede, en principio, diagonalizar el hamiltoniano numéricamente y calcular algunas cantidades físicas relevantes, por ejemplo, la brecha. Estoy explícitamente interesado en los casos en los que el modelo de enlace estricto se puede resolver solo numéricamente.

¿Existe un método general para tomar el límite continuo?$N\rightarrow\infty$y$Na=\text{constant}$de un modelo general discreto de enlace estricto? Para evitar confusiones, recalco que no me interesa el caso donde el sistema es infinito, sino el caso límite donde el sistema es continuo, es decir, no discreto, sino de tamaño finito.$L=Na$.

Una idea es calcular numéricamente los espectros y las cantidades físicas relevantes para aumentar$N$y con un parámetro de red decreciente$a\rightarrow 0$con la restricción$Na=\text{constant}$y deducir el comportamiento asintótico. Como en el límite continuo$t=\hbar^2/(2m a^2)$y$\alpha=\kappa/(2a)$($\kappa$es el parámetro SO), esto es equivalente a tomar el límite$N\rightarrow\infty$y tomando$t\propto N^2$y$\alpha\propto N$.

¿Es correcto este enfoque? ¿Es correcto suponer el límite$N\rightarrow\infty$con$t\propto N^2$y$\alpha=\propto N$en cada paso del cálculo? ¿Hay una referencia o un libro que discuta el límite discreto a continuo?

Muchas gracias de antemano.