POVM que no requieren la ampliación del espacio de Hilbert

Parece que tal vez te estás perdiendo una pieza crucial del rompecabezas. El enfoque estocástico que describe es equivalente a realizar una unidad que se elige estocásticamente (esencialmente aplicando un superoperador) y luego medir en una base fija. En principio, sin embargo, puede ir más allá, eligiendo estocásticamente si medir o no, produciendo así una clase de medidas no proyectivas. Una vez que las mediciones no proyectivas son una posibilidad, el rango de posibles mediciones se expande enormemente, ya que es posible que desee realizar una secuencia de tales mediciones.

Dado que las únicas operaciones abiertas para usted en este sistema cerrado son medidas unitarias y proyectivas en sus subsistemas, y usted es capaz de realizar cálculos clásicos aleatorios, creo que todo el conjunto de medidas que se pueden realizar son exactamente las que se pueden realizar de la siguiente manera:

• Tomar$R$ser un registro clásico privado inicialmente en el estado todo cero, y un bit adicional$H$, también inicialmente establecido en cero.
• Entonces para cada ronda$i$:
  1. Seleccione un operador unitario$U_i$a través de un cálculo aleatorio clásico en$R$y escribe el resultado en$R$.
  2. Aplicar$U_i$al sistema cuántico.
  3. Decida qué subsistema del sistema cuántico medirá mediante un cálculo aleatorio clásico en$R$y escribe el resultado en$R$.
  4. Si así lo decide, realice la medición en el subsistema requerido y almacene el resultado en$R$.
  5. Decidir mediante cálculo aleatorio clásico en$R$establecer o no$H$a 1.
  6. Si$H=1$detenerse, de lo contrario proceder a dar la vuelta$i+1$.

Lo anterior debería ser válido para cualquier sistema; sin embargo, si está considerando qubits, 3 se puede simplificar para simplemente decidir si medir o no un qubit designado. La razón para elegir qué subsistema medir es que pueden tener una dimensionalidad relativamente principal, en cuyo caso es probable que la dimensionalidad del subsistema medido sea importante.

Creo que la clase anterior incluye la medida de Mercedes-Benz que mencionas como imposible a través de tu método.

Un enfoque paso a paso es (1) considerar el POVM como la aproximación de grano grueso al operador de Lindbladian en el espacio de Hilbert$\mathcal{H}$de interés, luego (2) luego escriba el Lindbladian en términos de formas diferenciales estocásticas (Stratonovich), luego (3) extraiga las formas en cualquier variedad Kähleriana que parezca adecuada (un estado de producto de matriz, por ejemplo), junto con (4) las formas métrica y simplética del espacio padre$\mathcal{H}$.

Este marco de retroceso matemáticamente natural y computacionalmente eficiente le permite integrar trayectorias dinámicas en prácticamente cualquier espacio de estado Kähleriano que desee, con cualquier dimensión que necesite (incluidas las esferas clásicas de Bloch y los osciladores armónicos clásicos).

Un buen tutorial sobre las formas de Lindbladian requeridas son las notas en línea de Carlton Caves Mapas completamente positivos, mapas positivos y la forma de Lindblad .

Encontré un artículo que parece relevante para la pregunta: aleatoriedad clásica en mediciones cuánticas , de Giacomo Mauro D'Ariano, Paoloplacido Lo Presti y Paolo Perinotti. Los autores describen qué POVM son "puros", es decir, no se pueden implementar eligiendo estocásticamente entre otros POVM.

Para hacer eso, proporcionan un algoritmo simple para descomponer un POVM dado en una mezcla de POVM puros. Dado que los PVM son un caso especial de los POVM puros, se puede usar su algoritmo para decidir si un POVM dado se puede o no implementar mezclando PVM.

También demuestran un límite interesante en la cantidad de resultados que puede tener un POVM y seguir siendo puro:$d^2$. Para algunas aplicaciones, esto demuestra que es inútil considerar POVM con más de$d^2$resultados.