Estimación precisa del estado cuántico a través de "Mantener honesto al experimentador"

Bob tiene una caja negra, con la etiqueta "V-Wade", que le han prometido que prepara un qubit del que le gustaría saber el estado. Le pide a Alice, que también es física experimental, que determine el estado de su qubit. alicia informa σ pero a Bob le gustaría saber su honesta opinión. ρ para el estado del qubit. Para asegurar su honestidad, Bob realiza una medición { mi i } y le pagaré a Alice R ( q i ) si obtiene resultado mi i , dónde q i = T r ( σ mi i ) . Denote las probabilidades honestas de Alice por pags i = T r ( ρ mi i ) . Entonces su honestidad está asegurada si

∑ i pags i R ( pags i ) ≤ ∑ i pags i R ( q i ) .
El teorema de Aczel-Pfanzagl se cumple y por lo tanto R ( pags ) = C Iniciar sesión ⁡ pags + B . Por lo tanto, la pérdida esperada de Alice es (hasta una constante C )
∑ i pags i ( Iniciar sesión ⁡ pags i − Iniciar sesión ⁡ q i ) = ∑ i T r ( ρ mi i ) Iniciar sesión ⁡ [ T r ( ρ mi i ) T r ( σ mi i ) ] .
Blume-Kohout y Hayden demostraron que si Bob realiza una medición en la base diagonal del estado informado de Alice, entonces su pérdida esperada es la entropía relativa cuántica
D ( ρ ‖ σ ) = T r ( ρ Iniciar sesión ⁡ ρ ) − T r ( ρ Iniciar sesión ⁡ σ ) .
Claramente, en este ejemplo, Alice está obligada a ser honesta ya que el mínimo de D ( ρ ‖ σ ) se obtiene únicamente en σ . Esto no es cierto para ninguna medida que Bob pueda hacer (tome la medida trivial, por ejemplo). Entonces, naturalmente tenemos la pregunta: ¿qué medidas puede tomar Bob para garantizar la honestidad de Alice? Es decir, qué esquemas de medición se caracterizan por
∑ i T r ( ρ mi i ) Iniciar sesión ⁡ [ T r ( ρ mi i ) T r ( σ mi i ) ] = 0 ⇔ σ = ρ ?

Tenga en cuenta que { mi i } puede depender de σ (lo que informa Alice) pero no ρ (sus verdaderas creencias).

Respuesta parcial: Medida proyectiva en la base propia de σ ⇒ sí, Blume-Kohout/Hayden demostraron que este es el único esquema que obliga a Alice a ser honesta para una medida proyectiva.

Información completa ⇒ sí, claramente esto obliga a Alice a ser honesta ya que la medida especificará de forma única el estado (además, la medida se puede elegir independientemente de σ ).

Medida trivial ⇒ no, Alice puede decir lo que quiera sin impunidad.

Respuestas (1)

Trivialmente para cualquier conjunto de medidas { mi i } dónde ρ y σ tienen el mismo valor esperado para cada mi i ,

∑ i Tr ( ρ mi i ) Iniciar sesión ⁡ [ Tr ( ρ mi i ) Tr ( σ mi i ) ] = ∑ i Tr ( ρ mi i ) × 0 = 0.

Tenga en cuenta que el teorema de la desigualdad de la suma logarítmica dice que

∑ i a i Iniciar sesión ⁡ ( a i b i ) ≤ ( ∑ i a i ) × Iniciar sesión ⁡ ( ( ∑ i a i ) / ( ∑ i b i ) ) ,
con igualdad sólo si a i b i es constante para todos i . Esto implica que
∑ i Tr ( ρ mi i ) Iniciar sesión ⁡ [ Tr ( ρ mi i ) Tr ( σ mi i ) ] = 0
si y solo si Tr ( ρ mi i ) Tr ( σ mi i ) es constante Dado que la suma de las trazas sobre i es 1 para ambas matrices de densidad, esto implica que debe tener Tr ( ρ mi i ) Tr ( σ mi i ) = 1 .

Sin embargo, si las proyecciones sobre cada subespacio seleccionado por mi i no son iguales, entonces existe alguna i tal que Tr ( ρ mi i ) Tr ( σ mi i ) ≠ 1 .

Por lo tanto, para que Alice tenga una pérdida esperada de cero, entonces Tr ( ρ mi i ) = Tr ( σ mi i )       ∀ i . Si el valor esperado para cada mi i identifica de forma única una matriz de densidad, entonces necesariamente ρ = σ si Alicia tiene una pérdida esperada de cero. Una condición suficiente para esto es cuando mi i proyecto sobre ( oscuro ⁡ H ) 2 − 1 matrices de densidad linealmente independientes, donde H es el espacio de Hilbert del sistema.

Joe, tu condición suficiente es que { mi i } es informativamente completo, pero ya sabíamos que era suficiente y no necesario por el resultado de Blume-Kohout/Hayden. Entonces, ¿hay algo más interesante que se pueda decir acerca de la condición Tr( ρ mi i ) = Tr( σ mi i ), para todos i ?
@ChrisFerrie: No, eso no es lo mismo que la condición suficiente que di, ya que solo requería independencia lineal y no ortogonalidad y solo para un subconjunto suficientemente grande de { mi i } , por lo que incluye un montón de medidas débiles. Sin embargo, eso fue solo un ejemplo. La condición necesaria y suficiente es que todos los valores esperados sean los mismos. Esto incluye una amplia gama de medidas, como medir un operador de Pauli elegido al azar, que produce solo un bit de información.
Además, si toma una base completa o demasiado completa para la tomografía, puede hacer las mediciones y hacerlas arbitrariamente débiles, aún satisface el criterio (aunque la pérdida esperada de Alice tiende a cero a medida que la medición tiende a la identidad).
Este argumento es para el caso donde el conjunto de medidas es fijo e independiente de σ . Si el esquema solo necesita funcionar para ciertas clases de σ entonces esto impone correlaciones entre las entradas en la matriz de densidad, lo que reduce el número de operadores de medición linealmente independientes necesarios para identificarlo de forma única. Un ejemplo de esto es donde σ = | + ⟩ ⟨ + | , donde la pureza implica que el estado tiene un valor esperado de 0 para Z y Y medidas y si Tr ( ρ X ) = Tr ( σ X ) después Tr ( ρ Y ) = Tr ( σ Y ) , etc.
Y por lo tanto, solo necesita medir en el X base, a pesar de que esto no tiene suficientes resultados linealmente independientes para identificar de forma única una matriz de densidad arbitraria.
Hice algunos cambios para aclarar qué esquemas de medición están permitidos: son independientes en ρ pero no necesariamente fijos ya que pueden depender de qué estado σ informa Alicia. Lo sorprendente es que si Bob va a realizar un PVM, debe hacerlo en la base propia de σ . La prueba utilizada en el documento no es intuitiva para mí. Su línea de razonamiento es más atractiva, pero tendría que pensar un poco más para continuar y llegar a la misma conclusión sobre los PVM.
@ChrisFerrie: Lo siento, quise decir si las medidas pueden depender de σ no ρ . He editado mis comentarios anteriores para reflejar esto.
Oh bien, gracias. Este es un punto muy importante y creo que debería agregarlo a su respuesta.
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