Potencial químico y condición de equilibrio.

mi pregunta es sobre el$dG=0$condición para el equilibrio en un sistema, digamos, sólido + gas (agua y hielo, si lo prefiere).

Casi todos los libros de texto dan la siguiente receta para comprender el equilibrio de fase.

Primero, a partir de las leyes de la termodinámica, se afirma que la transición de un estado a otro (en un sistema monofásico de un componente) no podría ser más eficiente que entonces

$$\delta Q \leq TdS \tag{1}$$ Usando $dU = -pdV + \delta Q$por lo tanto concluimos $dU \leq -pdV + TdS$o $$dU + pdV - TdS \leq 0 \tag{2}$$

Presentamos la función de energía de Gibbs,$G=U+pV-TS$, vemos que a temperatura (T) y presión (p) constantes

$$dG = dU + pdV - TdS \leq 0 \tag{3}$$ Lo que éste afirma es lo siguiente: si $p$y $T$se mantienen constantes, entonces todo lo que le pueda pasar al sistema conducirá a la disminución de G. De lo contrario, estamos en el equilibrio y $G$permanece constante. Hasta ahora, todo bien.

Pero luego, en el caso del sistema agua+hielo, se agregan términos de potencial químico:

$$dU = -pdV + TdS + \mu_w dN_w + \mu_i dN_i \tag{4}$$

Si seguimos la lógica de (1) y (2), sustituyendo la versión actualizada de$dU$, es decir (4), entonces el resultado que obtenemos es:

$$dG - \mu_w dN_w - \mu_i dN_i \leq 0 \tag{5}$$ Pero en el libro de texto la gente de alguna manera obtiene $dG \leq 0$en su lugar y luego usando (4) y la definición de G $$dG = d(U+PV-TS) = dU + pdV + Vdp - TdS - SdT = \\ = Vdp - SdT + \mu_w dN_w + \mu_i dN_i \tag{6}$$ afirmar que bajo constante $p$y $T$lo siguiente es cierto durante el equilibrio: $$dG = \mu_w dN_w + \mu_i dN_i = 0 \tag{7}$$ mientras que en mi caso es (5).

¿Qué está mal en mi esquema de razonamiento?