Cálculo de la energía electrostática por unidad de longitud de una carcasa cilíndrica rodeada por un cable coaxial

Supongamos una capa cilíndrica infinitamente larga de radio$a$tiene una densidad de carga superficial$\sigma_0$y está rodeado por un cable coaxial de radio interior$b$y radio exterior$c$con densidad de carga uniforme$\rho_0$tal que el sistema combinado es neutral.

Me piden que calcule la energía electrostática de dos formas equivalentes, usando

$$W=\frac{1}{2}\int\rho V\,\mathrm{d}\tau$$ y $$W=\frac{\epsilon_0}{2}\int E^2\,\mathrm{d}\tau.$$ Por alguna razón, que he luchado (en vano) por localizar, no estoy obteniendo el mismo resultado, y agradecería si alguien pudiera ayudarme a localizar exactamente qué salió mal.

Creo que esto es bastante trivial, pero es tedioso, y debo haber pasado algo por alto en alguna parte, vergonzosamente.

Primero calculo$\rho_0$en términos de$\sigma_0$. Considere alguna longitud$L$a lo largo del sistema. La carga a lo largo de la capa interna es$2\pi aL\sigma_0$y la carga a lo largo del cable coaxial es$\pi c^2L\rho_0-\pi b^2L\rho_0=\pi L\rho_0(c^2-b^2)$. Haciendo que su suma sea igual a 0,

$$\rho_0=-\frac{2a\sigma_0}{c^2-b^2}$$

A continuación, aplico la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico del cascarón cilíndrico interior y del cable coaxial de forma independiente y los sumo para obtener el campo eléctrico del sistema como un todo.

Considere primero la capa cilíndrica interna y construya un cilindro gaussiano de longitud L. Debido a la simetría, el campo eléctrico solo debe apuntar en el$\hat{\mathbf{s}}$dirección y es una función de$s$solo. Para$s<a$, la ley de Gauss implica que el campo eléctrico es cero. Para$s>a$, la carga encerrada es$Q=2\pi aL\sigma_0$, entonces$|\mathbf{E}|2\pi sL=Q/\epsilon_0$rendimientos$\mathbf{E}=(a\sigma_0/s\epsilon_0)\hat{\mathbf{s}}$.

Luego considere el cable coaxial y un cilindro gaussiano de longitud L. Dentro del cable, la ley de Gauss nos dice que el campo eléctrico es 0. Para$b<s<c$, la carga encerrada es$Q=\rho_0\pi L(s^2-b^2)$, y la integral de superficie es igual a$|\mathbf{E}|2\pi sL$, entonces el campo eléctrico es$\mathbf{E}=(\rho_0/\epsilon_0)(s^2-b^2)(1/2s)\hat{\mathbf{s}}$, y de manera similar para$s>c$, es$\mathbf{E}=(\rho_0/\epsilon_0)(c^2-b^2)(1/2s)\hat{\mathbf{s}}$.

Ahora, combino estas expresiones para llegar a una función por partes para el campo eléctrico.

$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\left\{ \begin{array}{lr} 0 & s<a\\ \frac{a\sigma_0}{s\epsilon_0}\hat{\mathbf{s}} & a<s<b\\ \frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\frac{1}{s}\left(1+\frac{s^2-b^2}{b^2-c^2}\right)\hat{\mathbf{s}} & b<s<c\\ 0 & c<s \end{array} \right.$$

Ahora, a partir del campo eléctrico, calcularemos el potencial, tomando$\infty$como nuestro punto de referencia y trabajando nuestro camino hacia adentro, para hablar. El potencial para$s>c$es, por supuesto, 0, porque el campo eléctrico allí también es 0.

Suponer que$b<s<c$. Entonces el potencial es$V=V_1(s)$, dónde

$$\begin{align} V_1(s)&=-\int_c^s\left(\frac{a\sigma_0}{s'\epsilon_0}+\frac{\rho_0(s'^2-b^2)}{2s'\epsilon_0}\right)\,ds'=-\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\int_c^s\frac{1}{s'}\left(1+\frac{s'^2-b^2}{b^2-c^2}\right)\,ds'=-\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\left.\left(\frac{s'^2-2c^2\ln s}{2b^2-2c^2}\right)\right|_c^s\\ &=\frac{a\sigma_0}{2\epsilon_0(b^2-c^2)}\left(c^2-s^2+2c^2\ln(s/c)\right)=\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\frac{1}{2}\left(\frac{c^2-s^2+2c^2\ln(s/c)}{b^2-c^2}\right) \end{align}$$

Suponer que$a<s<b$. Entonces el potencial es$V=V_1(b)+V_2(s)$, dónde

$$V_1(b)=\frac{a\sigma_0}{2\epsilon_0(b^2-c^2)}\left(c^2-b^2+c^2\ln(b/c)\right)=\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)$$ $$\begin{align} V_2(s)&=-\int_b^s\frac{a\sigma_0}{s'\epsilon_0}\,ds'=\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\ln(b/s) \end{align}$$ Suponer que $s<a$. Entonces el potencial es $V=V_1(b)+V_2(a)$, dónde $$V_2(a)=\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\ln(b/a)$$

Para resumir,

$$V(s)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\ln(b/a) & s<a\\ \frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\ln(b/s) & a<s<b\\ \frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\frac{1}{2}\left(\frac{c^2-s^2+2c^2\ln(s/c)}{b^2-c^2}\right) & b<s<c\\ 0 & c<s \end{array} \right.$$

A continuación, procederé a calcular la energía electrostática. Como deseo obtener la energía por unidad de longitud, omitiré la integración a lo largo de la$z$eje de$z_0$a$z_0+L$, porque el factor multiplicativo de$L$terminará desapareciendo al final de todos modos.

Puedo calcular la energía electrostática con$W=\frac{1}{2}\int\rho V\,\mathrm{d}\tau$. Sólo necesitamos considerar las regiones donde$\rho$es distinto de cero, es decir, la superficie cilíndrica y$b<s<c$. Tenemos

$$\begin{align} W&=\frac{1}{2}\int\rho V\,d\tau\\ &=\pi a\sigma_0\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right) + \pi a\sigma_0\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\ln(b/a) \\ &\quad + 2\pi\frac{1}{2}\frac{-2a\sigma_0}{c^2-b^2}\int_b^c\frac{a\sigma_0}{2\epsilon_0(b^2-c^2)}s\left(c^2-s^2+c^2\ln(s/c)\right)\,ds\\ &=\frac{\pi a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0}\left[\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)+\ln(b/a)+\frac{1}{(b^2-c^2)^2}\int_b^cs\left(c^2-s^2+2c^2\ln(s/c)\right)\,ds\right]\\ &=\frac{\pi a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0}\left[\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)+\ln(b/a)+\frac{1}{(b^2-c^2)^2}\left.\left(c^2s^2\ln(s/c)-\frac{1}{4}s^4\right)\right|_b^c\right]\\ &=\frac{\pi a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0}\left[\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)+\ln(b/a)+\frac{1}{(b^2-c^2)^2}\left(-b^2c^2\ln(b/c)-\frac{1}{4}c^4+\frac{1}{4}b^4\right)\right] \end{align}$$

Ahora, calcularé la energía electrostática con$W=\frac{\epsilon_0}{2}\int E^2\,\mathrm{d}\tau$. Tenemos

$$\begin{align} W&=\frac{\epsilon_0}{2}\int E^2\,d\tau=\pi\epsilon_0\int_0^\infty E^2s\,ds=\pi\epsilon_0\frac{a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0^2}\int_a^bs\frac{1}{s^2}\,ds + \pi\epsilon_0\frac{a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0^2}\int_b^c\frac{1}{s}\left(1-\frac{s^2-b^2}{c^2-b^2}\right)^2\,ds\\ &=\frac{\pi a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0}\left(\ln(b/a)+\frac{1}{(b^2-c^2)^2}\left.\left(c^4\ln s-c^2s^2+s^4/4\right)\right|_b^c\right)\\ &=\frac{\pi a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0}\left(\ln(b/a)+\frac{c^4\ln c-c^4\ln b-c^4+b^2c^2+(1/4)c^4-(1/4)b^4}{(b^2-c^2)^2}\right) \end{align}$$

Al examinarlos, parece que no son iguales. Obviamente, esto está mal.

Edito: ¡Lo arreglé! ¡Son iguales ahora!