Postulado de valor propio y resultados del experimento en QM

No es una forma más débil. El libro cita "el índice m se refiere al resultado de la medición". Como escribió Lubos, el resultado de la medición clásica podría ser cualquier cosa física, que no es el enfoque del postulado, así que básicamente si$\mu(m)$es un resultado de medición clásico y$m$es su índice correspondiente, entonces está implícito que$\mu$es un mapeo

$\mu :\{1,2,3,...N\} \rightarrow \mathbb{R} \times (\textbf{physical unit of observable})$

He estado mirando lo que está disponible del libro en línea, y creo que tiene razón en que el Postulado 3 es (en un sentido discutido a continuación) más débil que el Postulado de Proyección QM habitual.

En primer lugar, hay algunos problemas de notación aquí. El$M_m$son una familia de operadores, llamados Operadores de Medida , indexados por$m$que es una etiqueta para los vectores propios de resultado. Sin embargo, la ecuación de valores propios en sí misma no juega un papel en el Postulado 3, que es en parte su punto.

Sin embargo, el libro también analiza los operadores de proyección como un caso especial de los operadores de medición. Aquí$M = \Sigma m P_m$dónde$M$es un operador hermitiano y m es ahora el valor propio en su descomposición espectral en operadores de proyección$P_m$.

Lo "especial" de este caso especial es que$P_m$es idempotente, físicamente que el estado "después de la medición" es como un estado propio de$P_m$ahora va a devolver el mismo resultado en mediciones inmediatas. Con un Operador de Medición existe el estado arbitrario$M_m \Psi$como estado posterior, que podría no ser un estado propio de$M_m$(por lo tanto, la notación podría resultar un poco confusa).

Posteriormente introducen un Postulado 4 (sobre productos tensoriales y sistemas compuestos) y pretenden probar que:

Medida Proyectiva + Unitaria (Postulado 2) + Postulado 4 "implementar" Medida General (Postulado 3)

Entonces, en cierto sentido, el Postulado 3 es más general que la medida proyectiva, ya que uno podría tener medidas no proyectivas, pero bajo todos los demás Postulados, al final todo resulta igual, si es necesario.

Supongo que, de hecho, parte de la razón por la que se ha hecho todo esto es porque el valor propio no hace mucho más que etiquetar y distinguir los diferentes resultados en la computación cuántica y la información cuántica. Su valor físico real es menos importante en muchos cálculos.

Por ejemplo, en la situación habitual de qubit, podríamos tener$|\Psi> = a |0> + b |1>$. Entonces la ecuación de valor propio para$M_0$puede ser$M_0 |0> =\alpha |0>$, pero el$\alpha$valor no es de interés sólo su papel en la indicación de que ahora tenemos un$|0>$estado.

Estimado Siddharth, midiendo los operadores de proyección$M_m$, se determina qué valores propios tomaron los observables medidos correspondientes. Por ejemplo, las medidas distinguidas por los operadores$M_m$puede corresponder a la medida de$x$,$p_y$, y$p_z$de una partícula. (Quería tomar un ejemplo lo suficientemente complejo para dejar en claro que podemos medir varios observables al mismo tiempo, y no tienen que ser un conjunto de los observables "más estándar" de los que la gente suele hablar).

Entonces, hay un mapa uno a uno entre los operadores de proyección y los valores particulares de las tres cantidades:

$$M_m |\psi\rangle = 1 |\psi \rangle \quad \Leftrightarrow \quad x |\psi \rangle = \lambda_{x,m} |\psi \rangle, \quad p_y |\psi \rangle = \lambda_{p_y,m} |\psi \rangle, \quad p_z |\psi \rangle = \lambda_{p_z,m} |\psi \rangle.$$ Por supuesto, las cantidades $x,p_y,p_z$sólo tome valores que sean los valores propios permitidos.

Ahora bien, cuando hacemos una medición, suponemos que se conocen las leyes que describen el sistema físico . También significa que el mapa preciso entre los operadores$M_m$y los valores propios correspondientes$\lambda_m$de los tres operadores también se conoce. Lo único que se desconoce es el estado real de un sistema físico real, controlado por estas leyes, en un momento dado. Eso es lo que medimos. En este contexto, no tratamos de "medir las leyes de la física" o "todos los valores propios permitidos que en principio son posibles". Se supone que sabíamos esas cosas generales de antemano y que también hemos elegido una convención que los operadores$M_m$representar físicamente: hemos elegido el conjunto de todos los tripletes de valores$\lambda_m$.

Debe comprender que este es un libro de texto sobre información cuántica, por lo que los valores precisos de los valores propios que representan la información, qué operador de proyección$M_m$tenía valor propio igual a uno - es irrelevante. Un bit cuántico puede estar representado por un átomo de hidrógeno cuya energía es$E=-13.6$eV o$E=-13.6/4$eV. Pero también puede estar representado por el espín del electrón,$j_z=\pm 1/2$. El punto de la información cuántica es que los dos espacios de Hilbert bidimensionales que acabo de presentar (e infinitamente muchos otros espacios de Hilbert, etiquetados por diferentes valores propios de diferentes observables) son isomorfos. Uno no está interesado en cómo se representa la información en el "hardware", sino en los valores (dados por funciones de onda) de los bits cuánticos.

La cantidad de información que necesita para determinar si el átomo de hidrógeno estaba en el$n=1$o$n=2$estado, y si un electrón estaba en$j_z=+1/2$o$j_z=-1/2$, es lo mismo: es un qubit.

En las computadoras clásicas, esto sería análogo a la afirmación de que no nos importa si los bits se almacenan en el campo magnético de un disco duro o los voltajes en la RAM, o mediante patrones ópticos en los discos CD, o cualquier otra cosa: solo estamos interesado en la secuencia de bits. De manera análoga, la información cuántica es la aplicación de la mecánica cuántica donde las preguntas técnicas análogas se dejan a otra persona: los físicos de la información cuántica solo juegan con los bits cuánticos y su transformación, no con el hardware que se necesita para realizar tales transformaciones en la práctica. Pero, por supuesto, como observa correctamente, cada representación de un bit cuántico en la práctica tiene que estar vinculada a algún observable hermitiano con algunos valores propios permitidos, y generalmente no son "cero" y "uno".

Esta es una buena pregunta, con una respuesta no trivial.

La razón por la que la regla en la que los valores propios no figuran es más general (y, por lo tanto, más aplicable) es que uno puede etiquetar los resultados de un instrumento de medición con valores arbitrarios (por ejemplo, cambiando la escala de equidistante a no equidistante), pero sigue midiendo lo mismo.

De hecho, el enunciado de la regla de Born, tal como se establece habitualmente, es válido sólo cuando el espectro es$\{0,1\}$o$\{0,1,2,...\}$y cosas simples similares, como en los ejemplos básicos de libros de texto.

Por ejemplo, medir las transiciones desde el estado fundamental de un sistema es equivalente a medir los valores propios de un hamiltoniano con un estado fundamental de energía cero. Uno nunca mide los valores propios exactos (como sugeriría la regla estándar de Born), ya que estos son típicamente números irracionales. Pero incluso una medición aproximada de una frecuencia espectral le indica qué transición se realizó y, por lo tanto, le brinda el índice del valor propio/vector propio.

Aquí proporcionamos más detalles de la construcción mencionada en la respuesta de Roy Simpson. La pregunta (v1) realmente tiene dos partes:

1. ¿Cómo son los observables hermitianos?$A:H \to H$y medidas proyectivas$P_m:H \to H$¿relacionado? Este tema se discute en muchos lugares, por ejemplo, en esta respuesta.

2. ¿Cómo son las medidas proyectivas?$P_m$y medidas generales$M_m$¿relacionado? Este será el tema principal de esta respuesta.

Dejar$H$Sea el espacio de Hilbert del sistema. (Ignoraremos las sutilezas con operadores ilimitados , dominios, extensiones autoadjuntas , etc., en esta respuesta).

I) Operadores de medida proyectivos $P_m:H \to H$,$m\in I$, satisfacer por definición

$$P_n P_m ~=~ \delta_{nm} P_m, \qquad P^{\dagger}_m~= P_m , \qquad \sum_{m\in I} P_m ~=~{\bf 1}_{H}. \qquad\qquad(1)$$

Aquí$I$es un conjunto de índices.

II) Operadores generales de medida $M_m:H \to H$,$m\in I$, satisfacer por definición

$$\sum_{m\in I} M^{\dagger}_m M_m ~=~{\bf 1}_{H}.\qquad\qquad(2)$$

Considere un fijo$m\in I$. La probabilidad$p(m)$para medir el resultado$m$para el operador de densidad $\rho:H\to H$es

$$p(m)~=~ {\rm tr}_H (M^{\dagger}_m M_m\rho).\qquad\qquad(3)$$

el colapso $\rho\longrightarrow \rho^{\prime}$del operador densidad, debido a la medida general, es

$$\rho^{\prime}~=~ \frac{M_m\rho M^{\dagger}_m}{p(m)}.\qquad\qquad(4)$$ Esto es esencialmente el Postulado 3 en Ref.1.

III) Por un lado:

En el mismo espacio de Hilbert$H$, los operadores de medida proyectivos (1) son un caso muy especial de los operadores de medida generales (2).

No es difícil construir ejemplos de operadores de medida generales que no sean operadores de medida proyectivos (si el espacio de Hilbert$H$es fijo, cf. Sección IV infra). Nótese en particular, que si repetimos la medida general$M_m$con el mismo$m$, el operador de densidad doblemente colapsado

$$\rho^{\prime\prime}~=~ \frac{M_m\rho^{\prime} M^{\dagger}_m}{{\rm tr}_H (M^{\dagger}_m M_m\rho^{\prime})}\qquad\qquad(5)$$

en general puede ser diferente de$\rho^{\prime}$. Por otro lado, para operadores de medida proyectiva$\rho^{\prime\prime}=\rho^{\prime}$siempre, principalmente debido a la idempotencia de$P_m$.

IV) Por otra parte:

Hay una forma de realizar operadores de medida generales.$M_m:H \to H$,$m\in I$, que viven en un espacio de Hilbert$H$, como operadores de medida proyectiva$P_m:L \to L$,$m\in I$, en un espacio de Hilbert más grande$L:=H\otimes K$introduciendo el llamado espacio ancilla de Hilbert $K~\cong~\mathbb{C}^{I}$con base ortonormal$|m\rangle\in K$,$m\in I$, etiquetados por el mismo conjunto de índices$I$.

Esto se explica en la Sección 2.2.8 de la Ref. 1. La construcción se basa en particular en el Postulado 4 para productos tensoriales en la Ref. 1. Una demostración esbozada es la siguiente.

1. Elija un estado normalizado fijo$|a_0\rangle\in K$. Llame al operador de densidad correspondiente$\rho_K:=|a_0\rangle\langle a_0|: K \to K$.

2. Introducir una copia isomorfa$\tilde{H}$de$H$adentro$L$como

   $$H~\stackrel{\cong}\longrightarrow~ \tilde{H}~:=~H\otimes |a_0\rangle ~\subseteq ~H\otimes K~=:~L.\qquad\qquad(6)$$

3. Definir una isometría $U:\tilde{H} \to L$como

   $$U~:=~ \sum_{m\in I} M_m \otimes |m\rangle \langle a_0 |.\qquad\qquad(7)$$ Es una isometría principalmente debido a la ec. (2) y porque$|m\rangle\in K$,$m\in I$, es una base ortonormal.

4. Extender la isometría$U:\tilde{H} \to L$de la ecuación$(7)$a un operador unitario$\tilde{U}:L \to L$.

5. Definir operadores de medida proyectivos$Q_m:L\to L$,$m\in I$, como

   $$Q_m~:=~ {\bf 1}_H\otimes|m\rangle \langle m|. \qquad\qquad(8)$$

6. Definir operadores de medida proyectiva unitariamente equivalentes$P_m:L\to L$,$m\in I$, como

   $$P_m~:=~\tilde{U}^{\dagger}Q_m\tilde{U} . \qquad\qquad(9)$$

7. Recuerde el operador de densidad fija$\rho_K:=|a_0\rangle\langle a_0|: K\to K$desde arriba. Considere un operador de densidad arbitrario$\rho_H: H\to H$. Definir el operador de densidad del producto$\rho_L:=\rho_H\otimes\rho_K: L\to L$.

8. Considerar fijo$m\in I$el operador de medida proyectiva$P_m:L\to L$definido en la ec.$(9)$. Ahora aplique el Postulado 3 para el operador de medida proyectiva$P_m:L\to L$.

9. la probabilidad es

   $$p(m)~=~ {\rm tr}_L (P^{\dagger}_m P_m\rho_L)~=~\ldots ~=~{\rm tr}_H (M^{\dagger}_m M_m\rho_H).\qquad\qquad(10)$$

10. El colapso$\rho_L\longrightarrow \rho^{\prime}_L$del operador densidad, debido a la medida proyectiva, es

    $$\rho^{\prime}_L~=~\frac{P_m\rho_L P^{\dagger}_m}{p(m)} ~=~\ldots~=~\rho^{\prime}_H~\otimes~\rho^{\prime}_K,\qquad\qquad(11)$$ dónde $$\rho^{\prime}_H~:=~\frac{M_m\rho_H M^{\dagger}_m}{p(m)}~=~{\rm tr}_K\rho^{\prime}_L,\qquad\qquad(12)$$ y $$\rho^{\prime}_K~:=~|m\rangle \langle m|~=~{\rm tr}_H\rho^{\prime}_L.\qquad\qquad(13)$$ Las ecuaciones (10) y (12) reproducen el Postulado 3 para el operador de medida general dado inicialmente$M_m:H\to H$. (La última igualdad de las ecuaciones (12) y (13) usa la traza parcial ).

Referencias:

1. MA Nielsen e IL Chuang, Computación cuántica e información cuántica, 2011.