¿Cómo se proyecta un vector de estado en un espacio propio después de la medición?

1) Sea dado un espacio de Hilbert$H$y un estado mixto descrito por un operador de densidad $\hat{\rho}:H\to H$, que es un operador positivo $\hat{\rho}\geq 0$, y con rastro${\rm Tr}(\hat{\rho})=1$.

2) Deja$V\subseteq H$sea ​​un espacio propio de estados para un observable hermitiano $\hat{A}:H\to H$con valor propio$\lambda\in\mathbb{R}$. (Ignoraremos las sutilezas con operadores ilimitados , dominios, extensiones autoadjuntas , etc., en esta respuesta).

3) Deja$\hat{P}:H\to H$ser el operador de proyección sobre$V$. Es el único operador, tal que

1. $\hat{P}$es hermitiano$\hat{P}^{\dagger}=\hat{P}$(y por lo tanto$\hat{P}$es diagonalizable en una base ortonormal).
2. Un idempotente$\hat{P}^2=\hat{P}$(y por lo tanto solo puede tener valores propios$0$y$1$).
3. El espacio propio${\rm ker}(\hat{P}-1)$para$\hat{P}$con valor propio$1$es igual al subespacio$V$.

Si$(\mid\psi_i\rangle)_{i\in I}$es una base ortonormal para$V$, entonces

4) Luego el colapso $\hat{\rho}\longrightarrow \hat{\rho}^{\prime}$del operador densidad, debido a la medida, sería

5) Para un estado puro$\hat{\rho}=\mid\psi\rangle\langle\psi\mid$, el colapso$\mid\psi\rangle\longrightarrow\mid\psi\rangle^{\prime}$se convierte

Así que si uno parte de un estado puro$\mid\psi\rangle$, el estado colapsado$\mid\psi\rangle^{\prime}$también sería puro.

La proyección exacta que está haciendo una medición depende de los detalles del proceso de medición. Una medida de posición idealizada es algo imposible, porque se proyectaría a un estado de impulso infinitamente indefinido y energía infinita.

Cualquier interacción de una partícula cuántica con otro sistema cuántico que comienza con un estado de producto, donde la partícula está en el estado$\psi$y el sistema está en el estado$\chi$produce un estado entrelazado, donde diferentes estados de la partícula se entrelazan con diferentes estados del sistema. Decimos que el sistema está "midiendo" la partícula cuando algunos de los estados del sistema dejan una huella clásica. Si el dispositivo de medición deja de interactuar con la partícula, el estado entrelazado de la partícula parece una matriz de densidad y la partícula quedará en el estado relativo al estado apropiado del dispositivo de medición, según lo proyectado por el resultado.

El concepto de estado relativo se debe a Hugh Everett y es fundamental para la interpretación de los muchos mundos. Dejando de lado la interpretación, es la herramienta central para describir nociones no idealizadas de medición en mecánica cuántica.

Entonces, si dispersas un fotón de longitud de onda$\lambda$de una partícula, obtienes diferentes ángulos de dispersión en diferentes posiciones. El ángulo de dispersión está entrelazado con la posición de la partícula. Si luego dejas que el fotón sea absorbido por un dispositivo fotosensible, la posición del fotón revela qué estado particular de la partícula está presente. La descripción de una partícula cuando está entrelazada ya no es por una función de onda, sino por una matriz de densidad, y esto sigue siendo cierto a menos que el fotón saliente regrese a la partícula para deshacer el entrelazamiento. Cuando la medida se vuelve macroscópica, esto simplemente no sucederá, porque el fotón se ha entrelazado con todo lo demás.

Supongamos que está en el estado

$|\alpha_1\rangle$y$|\alpha_2\rangle$son vectores propios del observable$A$, ambos con valor propio$\alpha$.$|\beta\rangle$es también un vector propio de este observable pero con el valor propio diferente$\beta$.

Si haces una medida de$A$y el resultado es$\alpha$, el estado del sistema se convierte en el estado

con$N$un factor elegido para mantener el estado normalizado.

Si no conoce el estado de$|\Psi\rangle$antes de realizar la medición, luego realiza la medición y obtiene el valor$\alpha$, no conoce la función de onda después de la medición. Suponiendo que los tres estados$|\alpha_1\rangle, |\alpha_2\rangle, |\beta\rangle$formar una base, todo lo que puede decir es que después de la medición

con$p^*p + q^*q = 1$, pero no sabes que$p$y$q$son. Si desea determinarlos, debe encontrar algún otro operador$B$que viaja con$A$, de modo que$|\alpha_1\rangle$y$|\alpha_2\rangle$son vectores propios de$B$, pero tienen valores propios diferentes. Luego midiendo$B$le permitirá determinar el estado por completo.

El operador de proyección sobre un subespacio$E$atravesado por un conjunto de estados ortogonales$\{|e_k\rangle\}$es

Esa fue la parte fácil. Pero averiguar si tienes un estado puro o un estado mixto después de una medición es, en cierto sentido, una cuestión de definiciones.

Considere un solo sistema cuántico que comienza en un estado puro$|\psi\rangle$o$\rho$(si prefiere operadores de densidad). Suponga que mide un observable correspondiente al operador$A$. Como operador hermitiano,$A$tiene estados propios$|a^i_k\rangle$, asociado con valores propios$a^i$, que forman una base ortonormal. Digamos que el resultado que obtienes es$a^0$; entonces esta medida particular proyecta el estado del sistema en el subespacio$A_0$atravesado por los estados propios$|a^0_k\rangle$:

Evidentemente, si se trata de una sola medición en un solo sistema, suponiendo que comenzó con un estado puro, puede expresar el estado posterior a la medición como un estado puro.

Pero, ¿qué sucede si, en cambio, tiene un gran conjunto de sistemas, cada uno preparado de manera idéntica y luego medido? Después de la medición, para cada resultado posible$a^i$, Una fracción$p(a^i)$de los sistemas habrá producido el resultado$a^i$y así estará en el estado$P_{A_i}|\psi\rangle$o$P_{A_i}\rho P_{A_i}$. Esta es una mezcla de sistemas en diferentes estados puros, y por lo tanto corresponde a un estado mixto

La diferencia clave es que con un solo sistema, podía conocer el resultado de la medición, que era el conocimiento que necesitaba para "extraer" un solo estado puro de la mezcla. Pero en este caso, no puede hacer eso porque tiene muchos resultados diferentes de la medición.