¿Por qué y cómo se usa la teoría de la perturbación no degenerada para la evolución del tiempo bajo el acoplamiento L⃗ .S⃗ L→.S→\vec{L}.\vec{S}?

Digamos que comenzamos con un electrón que está en un estado de espín y tiene una función de onda espacial de la forma$xf(r)$. Entonces se activa una perturbación de la forma$\frac{U(r)\vec{L}\cdot\vec{S}}{\hbar ^2}$.

• Ahora se quiere saber cuál es la probabilidad de que el estado con el que se empezó se encuentre todavía en el mismo estado después de un tiempo.$t$.

Unos pasos hacia lo que puedo imaginar,

• escribir el acoplamiento$\vec{L}\cdot\vec{S}$como$\frac{1}{2}(J^2 - L^2 - S^2)$

• Utilizando la identificación de$Y_{1\pm 1} = \lvert1\pm1\rangle$y uno puede reescribir la función de onda inicial como$xf(r)\otimes \frac{1}{2} = \Bigl[0.5\sqrt{\frac{8\pi}{3}}rf(r)\Bigr]\bigl\{ \lvert 1-1\rangle\otimes \frac{1}{2} - \lvert 11\rangle\otimes \frac{1}{2}\bigr\}$

• uno probablemente puede adivinar que hay$2$más estados al mismo$l=1$valor que son de la forma similar pero son una suma de los$m = \pm1$estados y otro es solo el$m=0$estado. (... Me gustaría saber si hay una forma sistemática de obtener estos$3$estados usando la acción de algún operador de simetría que rota entre estos tres estados... no puedo ver de inmediato qué es ese operador más allá del hecho de que esto es solo el$3$-representación vectorial de$SO(3)$..)

• En la teoría de la perturbación de primer orden, uno tomaría el valor esperado de estos tres estados anteriores en el potencial perturbador de$\frac{U(r)\vec{L}\cdot\vec{S}}{\hbar ^2}$. Aquí, cuando para cualquiera de los tres estados anteriores, uno toma el valor esperado en el$J^2$operador uno tiene que reescribir estos estados arriba en el$J$base como,$\lvert 1-1\rangle\otimes \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\lvert \frac{3}{2} -\frac{1}{2}\rangle_J - \sqrt{\frac{2}{3}}\lvert\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\rangle_J$etc. (..pero para tomar el valor esperado en el$L^2$y el$S^2$operador se puede continuar con la escritura como el producto tensorial del$l=1$y$s=1/2$estados

Uno puede encontrar los 3 valores esperados de la perturbación$\vec{L}\cdot\vec{S}$potencial en los 3 estados inicialmente degenerados y estos valores esperados son las correcciones de primer orden a aquellas energías que dividen esa degeneración.

• Pero creo que para responder a la cuestión de la probabilidad como se planteó anteriormente, es necesario encontrar los estados propios (perturbativos) del potencial perturbado y solo entonces se puede responder a la cuestión de la evolución en el tiempo. Y esto es lo que no me queda claro como se puede conseguir eso..

¿Existe un régimen en la teoría de la perturbación en el que uno pueda seguir pensando en los 3 estados inicialmente degenerados como estados propios de los nuevos 3 niveles de energía divididos?

• Honestamente, habría pensado que uno debería haber estado usando la teoría de perturbación degenerada y calculando ese determinante para determinar los nuevos niveles de energía. Pero convencionalmente, ¿por qué se hace la teoría de perturbación no degenerada anterior para$\vec{L}\cdot\vec{S}$¿acoplamiento?