¿Qué es el Operador Momentum?

La función de onda no es un operador; la palabra "operador" en mecánica cuántica significa algo más preciso que "función". Podría decir que el operador de cantidad de movimiento es "algo para poner en una integral para obtener el valor esperado de la cantidad de movimiento"; Dejame explicar.

Sabemos que para una partícula en un estado$\psi$,

$$\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x |\psi(x,t)|^2 \mathrm{d}x$$

porque$|\psi(x,t)|^2\mathrm{d}x$es la probabilidad de que la partícula se encuentre en el pequeño intervalo$(x,x+\mathrm{d}x)$en el momento$t$. Derivemos esto y empujemos la derivada a la integral.

$$\frac{\mathrm{d} \langle x \rangle}{\mathrm{d}t} = \int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{\partial|\psi(x,t)|^2}{\partial t} \mathrm{d}x$$

Ahora usamos la ecuación de Schrödinger para reemplazar la derivada del tiempo con derivadas del espacio

$$\frac{\mathrm{d} \langle x \rangle}{\mathrm{d}t} = \frac{i\hbar}{2m}\int x \frac{\partial}{\partial x} \left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x} - \psi\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right) \mathrm{d}x$$

Utilice la integración por partes para eliminar la integración del exterior.$\frac{\partial}{\partial x}$y diferenciar los$x$

$$\frac{\mathrm{d} \langle x \rangle}{\mathrm{d}t} = -\frac{i\hbar}{2m}\int \left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x} - \psi\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right) \mathrm{d}x$$

Realiza otra integración por partes en el segundo término

$$\frac{\mathrm{d} \langle x \rangle}{\mathrm{d}t} = -\frac{i\hbar}{m}\int \left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\right) \mathrm{d}x$$

Multiplicar por$m$

$$\langle p \rangle = \int \psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right) \psi \mathrm{d}x$$

Note que esta es la misma forma que la integral para$\langle x \rangle$, excepto que usamos$\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$en lugar de$x$. Es por eso que se les llama operadores de momento y posición respectivamente; son los operadores que colocas entre$\psi^*$y$\psi$en la integral para obtener el valor esperado de esa variable. También hay operadores para momento angular, energía, etc.

Por supuesto, hay otras definiciones más útiles de un operador. Por ejemplo, observe que si escribimos$\psi$como suma de funciones sinusoidales, cada función sinusoidal es una función propia del operador de cantidad de movimiento, y la integral se vuelve muy simple de evaluar; por lo tanto, podríamos pensar en el operador de cantidad de movimiento como un operador que devuelve la suma de las funciones sinusoidales componentes (estados propios de cantidad de movimiento) de$\psi$, ponderado por el impulso, que es como me gusta pensar en ello.

El operador de cantidad de movimiento, al igual que otros operadores en mecánica cuántica, actúa sobre una función de onda dada (estado). La multiplicación de operadores en álgebra lineal es lo mismo que ellos "actuando sobre" un objeto matemático. Originalmente, la mecánica cuántica se denominó "mecánica matricial"; así que cuando estudias álgebra lineal, también estás estudiando mecánica cuántica. La cantidad de movimiento es un operador hermetiano, y sus valores propios corresponden a los posibles valores que puede tomar la cantidad de movimiento en una medida dada. Cuando el operador de momento$\mathbf{A}$"actúa sobre" un estado dado$\langle a |$("estado" aquí es equivalente a "vector propio"), el estado tiene un valor propio correspondiente$a$. Escribiríamos esto en una ecuación como

$$\mathbf{A} \langle a | = a \langle a |$$ Esto significa que en una medida de lo observable $\mathbf{A}$de un sistema en un estado $\langle a |$devolverías un valor de $a$dentro de los límites de la incertidumbre.