Momento medio en mecánica cuántica en un intervalo finito de espacio

1. Técnicamente, la ecuación de OP. (1) es el valor esperado

   $$\langle \hat{A} \rangle ~:=~ \int_{\mathbb{R}} \!\mathrm{d}x~\psi^{\ast} \hat{A}\psi \tag{i}$$ de un operador no hermitiano $$\hat{A}~:=~ 1_{[a,b]}(\hat{x})\hat{p}.\tag{ii}$$ Aquí$x\mapsto 1_{[a,b]}(x)$denota la característica / función indicadora para el intervalo$[a,b]\subseteq \mathbb{R}$. Asumimos$a<b$.

2. $\hat{A}$no es hermitiano, ya que$\hat{x}$y$\hat{p}$no conmutar

   $$[\hat{x},\hat{p}]~=~i\hbar~{\bf 1}.\tag{iii}$$

3. Formalmente, para obtener un operador/ observable hermitiano , considere, por ejemplo, el operador simetrizado

   $$\hat{B}~:=~\frac{1}{2}\left\{1_{[a,b]}(\hat{x}),~\hat{p}\right\}_+ ~:=~\frac{1}{2}\left(1_{[a,b]}(\hat{x}) \hat{p}+\hat{p}1_{[a,b]}(\hat{x})\right) ~=~\hat{A} +\frac{i\hbar}{2}\left(\delta(\hat{x}\!-\!b)-\delta(\hat{x}\!-\!a)\right).\tag{iv}$$

4. Si existen algunas condiciones de contorno tales que

   $$\psi(a)~=~0~=~\psi(b), \tag{v}$$ (por ejemplo, debido a un potencial infinito en$x=a$y$x=b$), entonces los operadores$\hat{A}$y$\hat{B}$son efectivamente los mismos. \psi

5. Dato curioso: si la función de onda$\psi\in\mathbb{R}$es diferenciable, real y se desvanece$\psi(\pm\infty)=0$en el infinito, entonces el valor esperado se desvanece $$\langle \hat{B} \rangle~\stackrel{(\text{iv})}{=}~ \frac{1}{2}\int_a^b \!\mathrm{d}x\left(\psi^{\ast} (\hat{p}\psi) + (\hat{p}\psi)^{\ast}\psi\right)~\stackrel{(\text{vii})}{=}~\int_a^b \!\mathrm{d}x ~mj~=~0, \tag{vi}$$ dónde $$j~:=~\frac{1}{2m}\left(\psi^{\ast} \hat{p}\psi-\psi \hat{p}\psi^{\ast}\right)~=~0\tag{vii}$$ es la probabilidad actual .

Una función de onda te da la probabilidad de que una partícula sea vista en alguna parte. Si no está confinado a estar en alguna región, como un pozo potencial o algo así, entonces tiene la probabilidad de verse en cualquier parte del espacio. Es por eso que la integración va desde$-\infty$a$+\infty$(recuerde que nunca podría identificar una partícula mecánica cuántica en el espacio). Eso se puede convertir en un volumen finito de espacio si el confinamiento es fuerte. Por ejemplo, en el caso de una partícula en un pozo de potencial infinito, la condición límite es que la función de onda debería desaparecer en los límites del pozo de potencial.

Pero, en realidad, no existen tales trampas de potencial infinito donde se puede confinar una partícula. Todos los potenciales disponibles son finitos. Por lo tanto, la condición de que la función de onda desaparezca en el límite ya no es válida, lo que significa que la función de onda podría extenderse fuera del límite (lo que se denomina tunelización cuántica). Estas funciones de onda se denominan no normalizadas. Es por eso que integra sobre todo el espacio para obtener la probabilidad y, por lo tanto, el valor esperado de la partícula.