¿Por qué una estupa de hielo no se derrite durante 6 meses?

TLDR:

Una estupa de hielo como la de tu video no se derrite rápido porque es enorme. Incluso si tuviera un cubo de hielo de la misma masa, tardaría unos cinco meses en derretirse. ¿Cómo llegué a este resultado?

La relación entre el área superficial y el volumen de la forma es importante, pero la cantidad de energía absorbida por la estupa cambia linealmente con su área. Como tal,$t_{\text{melt}}\propto \text{area}/ \text{volume}$para un volumen fijo (y masa). En general, la mayoría de las formas tienen esta cifra dentro del mismo orden de magnitud e incluso una forma 'ineficiente' duraría unos meses a una escala tan masiva. Las esferas tienen este valor en$4.8$mientras que los cubos están en 6.

A continuación, hago el cálculo y muestro que no sucede nada misterioso con la estupa. Aunque supongo que sería un poco deprimente decir eso en el video de YouTube :)

Solución adecuada:

En general, responder a este tipo de preguntas requiere pensar en todos los flujos de energía entrantes y salientes y escribirlos como una ecuación diferencial. En este caso tenemos dos vías principales de calentamiento:

1. Calentamiento por convección debido al flujo de aire alrededor de la estupa.
2. Calentamiento por absorción procedente de la luz solar.

Como ecuación, se puede escribir esto como:

$$\frac{dQ}{dt} = 4\pi R(t)^2k(T_o-T_s) + a\pi R(t)^2 P_{\textit{sun}} = \left(4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}} \right)R(t)^2,$$

dónde$R(t)$es el radio de la estupa esférica (sí, esta es la aproximación que usaremos),$(T_o-T_s)$es una diferencia de temperatura constante entre el exterior en$7.5$C y la superficie de fusión en$0$C,$a$es la absorción del hielo en$50\%$y$P_{\textit{sun}}$es la potencia media de los rayos del sol que inciden sobre la estupa en$250 W/m^2$.

Suponiendo que todos estos procesos sean constantes en el tiempo , y que todos ellos estén derritiendo la superficie de la esfera de manera uniforme (en realidad, uno puede suponer que la parte superior se está derritiendo más rápido que la parte inferior).

La solución a la ecuación diferencial donde la condición inicial para un$2000$ton stupa corresponde a$R(t=0)\approx 8 \text{m}$.

Para resolver la ecuación, tenemos que encontrar la relación entre$\Delta{Q}$y$R$. Escribir la transferencia de calor infinitesimal$dQ$requerido para derretir un$dR$fina capa de hielo:

$$\frac{dQ}{dR} = 4\pi R^2 \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}},$$

dónde$C_{\textit{lat}}$es el calor latente del hielo y$\rho_{\textit{ice}}$es la densidad del hielo. Para avanzar, uno escribe la ecuación maestra de flujo como:

$$\frac{dQ}{dt} = \frac{dQ}{dR}\frac{dR}{dt} = 4\pi R^2 \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}\frac{dR}{dt} = \left(4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}} \right)R(t)^2.$$

La ecuación anterior se simplifica a:

$$\frac{dR}{dt} = \frac{4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}}}{4\pi \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}},$$

dando la solución:

$$R(t) = R(t=0) - \frac{4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}}}{4\pi \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}}t.$$

Para estimar el tiempo hasta que la esfera total se derrita establecemos$R(t_{\text{melt}})=0$, y encuentre que la bola se derrite en:

$$t_{\text{melt}}= R(t=0)\frac{4\pi \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}}{4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}}} \approx 2.3 \text{months}.$$

En muchos sentidos, esta es la estimación más baja que supuse:

1. Una diferencia de temperatura estable entre la capa exterior de fusión y la atmósfera exterior de 7,5 grados centígrados. En realidad, el gradiente de temperatura promedio será menor.
2. También supuse que toda la estupa estaría en$0$C inicialmente, mientras que en realidad está a una temperatura más baja y, por lo tanto, debe involucrarse más calor para elevarlo a la transición de fase.
3. Asumí un ambiente moderadamente ventoso con$k= 50J/m^2 K$, sin viento esto baja a$k= 10J/m^2 K$y el tiempo de fusión llega a ser de unos 9 meses. Es un parámetro difícil de adivinar, pero por lo general está entre 10 y 100. Elegí el promedio.

No obstante, esta estimación muestra que la estupa se derretirá durante un par de meses , como se afirma en el video. No es mucho más que una estimación del orden de magnitud, pero demuestra que no es necesario buscar ningún efecto misterioso más allá de las transferencias de calor habituales.

Referencia para la elección de las temperaturas: Temperaturas en Leh durante todo el año

Está bien, puede llevar más tiempo, pero revísalo una vez.

Mire, la estupa tarda un mes en formarse y puede alcanzar una altura máxima de aproximadamente$15$a$50\,\mathrm m$y puede almacenar hasta$2$millones de litros de agua que es mucho .

Si calculamos su masa será la misma$2$millones de kilos

Una masa tan grande en aproximadamente$-30\mathrm{°C}$necesita mucha energía para derretirse y fluir en las corrientes. Si calculamos, puede llegar a unos 210 millones de julios de energía (con algunas aproximaciones).

Ahora, si buscamos en Google sobre la energía promedio del sol en Ladakh, obtenemos esto:

Podemos tomar el promedio como$6\,\mathrm{kW\,h/m^2/day}$y esto significa$250\,\mathrm{J/m^2}$.

Ahora importa el área de la superficie curva. Su radio va desde$10\,\mathrm{m}$a$20\,\mathrm{m}$y la altura oscila entre$20$a$50\,\mathrm m$. Entonces podemos calcular el área como un promedio. Y luego calcula la energía total de la estupa. Y a partir de esto podemos obtener el resultado. Hice los cálculos y obtuve$180$días aproximadamente. Los días se calculan a partir de enero porque las estupas tardan un mes en formarse a tal altura.

Entonces, el factor decisivo en este caso fue su masa y su temperatura durante los inviernos y el resto de los meses (que se muestra en la figura).

Además, la absorción de calor se debe a las corrientes de aire cálido que soplan en Ladakh principalmente en los meses de marzo a mayo y también hacen que se derrita y, según los cálculos de Akerai, tardará dos meses o más en derretirse por completo.

NOTA: si tiene alguna consulta con los datos, puede buscarlos en Google. Espero eso ayude.

Muchas gracias a Akerai por informarme sobre mi error.

@Ankit Kumar brinda una respuesta muy perspicaz sobre el lado práctico de los fenómenos. Me gustaría dar algo de luz sobre la razón teórica detrás de la declaración del Sr. Wangchuk (y una forma más sencilla de verlo).

La estupa está hecha de hielo, por lo que la forma en que el calor del sol (o el aire caliente) es absorbido y transferido por la estupa es la conductancia . Digamos que la estupa absorbe calor.$Q$en una cantidad de tiempo$t$. Ahora, el calor absorbido en esa cantidad de tiempo (tasa de calor) va a ser:

$$\frac{Q}{t} = k A \frac{T_o - T_i}{d}$$ dónde$A$es el área de la estupa,$T_o$es la temperatura fuera de la estupa y$T_i$es la temperatura interior.

Ahora, a medida que aumenta el área de la estupa, aumenta el calor absorbido por ella en un período de tiempo determinado.

Debe asegurarse de maximizar la masa de hielo almacenada en la estupa y minimizar el calor absorbido por ella. Esto aseguraría que dure más tiempo. Como la masa depende del volumen ($M = \rho V$;$\rho$es la densidad), básicamente desea obtener la relación de área de superficie a volumen lo más baja posible (para garantizar un área de superficie más baja para absorción y conductancia; y aumentar el volumen y la masa).

Matemáticamente, la relación más baja entre área de superficie y volumen es la de la esfera (o, como dice el Sr. Wangchuk, el hemisferio: no quieres construir una enorme bola de nieve :). Pero, cuando consideras cómo construyen la estupa de hielo, tiene sentido: liberan agua de una tubería orientada verticalmente y cuando el agua se expone al clima frío de Ladakh, se congela, eventualmente, formando un cono.

El cono tiene un área superficial de$\pi r l$(sin considerar la superficie circular del fondo) y un volumen de$\frac{1}{3} \pi r^2 h$; eso lo convierte en una de las figuras que tiene la relación más baja entre el área de superficie y el volumen (aunque no tan baja como la esfera).

En resumen: el hielo transfiere calor al conducirlo, y la forma de minimizar el calor absorbido y conducido es minimizar el área de superficie y maximizar la cantidad de hielo que necesita el volumen máximo. Entonces, se utiliza una forma que tiene menos área de superficie para un gran volumen, en el caso de este proyecto, el cono. Es jus debido a los fenómenos de conductancia. Ni siquiera necesitas la ley de Stephan-Boltzmann para esto.