¿Por qué una capa de cristal monoatómica (2D) no puede ser estable?

Bien, cuando hablamos de estabilidad de sistemas, al menos para sistemas en equilibrio, requerimos que la energía libre esté acotada por debajo y sea convexa. Como la energía libre se obtiene mediante una transformación de Legendre (que conserva la convexidad), se requiere que el funcional de energía sea convexo. Esto esencialmente nos permite minimizar las energías para encontrar estados fundamentales. Dentro del ámbito de la termodinámica de equilibrio regular, las cantidades de orden superior (dependiendo de las fluctuaciones) como la capacidad calorífica o la susceptibilidad/compresibilidad se ponen a mano para que sean cantidades finitas.

Ahora, llegando a su punto sobre la estabilidad de los estados ordenados, son precisamente estas fluctuaciones (que en termodinámica supone que son finitas, pero en mecánica estadística son calculables) las que divergen para sistemas arbitrariamente grandes para algunas dimensiones y/o en algunos puntos críticos correspondiente a las transiciones de fase. Entonces, el llamado argumento en contra de la estabilidad de los cristales 2D con interacciones de corto alcance es el teorema de Mermin-Wagner, que básicamente muestra que en 2 dimensiones, las fluctuaciones sobre el estado ordenado (en este caso, la estructura reticular) se descorrelacionan en grandes distancias. , destruyendo así cualquier orden a gran escala en el sistema (nuevamente solo en el límite termodinámico de sistemas de gran tamaño).
En cuanto al caso específico del grafeno como un cristal 2D estable, la escapatoria que explota para "violar" el teorema de Mermin-Wagner es bastante sutil. Tenga en cuenta que, el hecho de que fluctúe como una hoja incrustada en un espacio dimensional superior no la convierte en una estructura no 2D . Aparte, las membranas fluidas que pueden autointersecarse (esto significa que todas las interacciones son solo locales) son láminas 2D equivalentes incrustadas en un espacio dimensional superior, y no tienen una fase plana (ordenación de normales) y siempre están arrugadas. . Entonces, solo permitir fluctuaciones en otra dimensión no es suficiente para tener un orden en el grafeno.

En cambio, lo que sucede es que la estructura reticular del grafeno es fija, por lo que corresponde a lo que se llama una membrana elástica atada (que, a diferencia de la membrana fluida, puede estirarse). Es este estiramiento en el plano lo que permite que el modo fonónico se propague y se acople en -grados de libertad del plano a fluctuaciones transversales fuera del plano. Esto media efectivamente en una interacción de largo alcance, eludiendo así a Mermin-Wagner. Otra forma de ver esto técnicamente es que la rigidez a la flexión de la lámina se vuelve a normalizar, de modo que diverge en escalas de gran longitud, lo que hace que la lámina sea más rígida en escalas más grandes. En resumen, las ondulaciones térmicas son esenciales para la estabilidad del grafeno como cristal 2D.

Bueno, las declaraciones de Landau no fueron tan definitivas como parece pensar. Sus puntos de vista se resumen en Física estadística (Landau y Lifshitz). De mi copia de la tercera edición, primera parte, se encuentran en las secciones 137 y 138. La discusión es sobre las fluctuaciones térmicas en función de la temperatura y el tamaño de la película 2D. Las siguientes citas lo ayudarán a comenzar. Descubrí que cuando no estoy de acuerdo con Landau, siempre me equivoco.

"El resultado obtenido, estrictamente hablando, significa solo que el desplazamiento fluctuacional se vuelve infinito cuando el tamaño (son) del sistema bidimensional aumenta sin límite (de modo que el número de onda puede ser arbitrariamente pequeño). Pero, debido a la lentitud ( logarítmica) divergencia de la integral, el tamaño de la película para el cual las fluctuaciones son aún pequeñas puede ser muy grande". (sección 137)

"Anotemos en primer lugar que, cuando T=0, podría existir una red bidimensional de cualquier tamaño..." (sección 138).