¿Cómo afecta el número de átomos en la base a la densidad de estados?

Cuando se trata de fonones y calor específico de sólidos, parece que la cantidad realmente importante a obtener es la densidad de estados. norte ( ω ) . Cuando la tenemos, podemos encontrar la energía interna como

tu ( T ) = ∫ norte ( ω ) ℏ ω mi − ℏ ω / k B T − 1 d ω ,

y teniéndolo también podemos encontrar el calor específico

C ( T ) = ∂ tu ∂ T .

Ahora, la forma de encontrar norte ( ω ) suele ser esto: si la red real tiene celda primitiva con volumen V , el volumen de la celda primitiva del k -el espacio es ( 2 π ) 3 / V . Esto significa que, dado que solo hay un punto de la red de Bravais por celda primitiva, hay V / ( 2 π ) 3 puntos de la k -red por unidad de volumen.

Esto a su vez conduce a integrales de la forma

norte ( ω ) d ω = V ( 2 π ) 3 ∫ d k ,

donde la integral se toma sobre la región entre ω y ω + d ω , o equivalente

norte ( ω ) = V ( 2 π ) 3 ∫ d S | ∇ k ω | ,

donde la integral se toma sobre la superficie ω .

Todo esto está bien, dada una relación de dispersión ω ( k ) podemos encontrar norte ( ω ) usando esas integrales, y con norte ( ω ) podemos encontrar tu ( T ) y por lo tanto C ( T ) .

Por otro lado, ¿qué pasa si la base de la red de Bravais tiene más de un átomo? Por ejemplo, ¿una base de 2 átomos?

Esto es bastante común, pero no veo cómo afecta esto a toda esta derivación. La suposición ingenua sería que norte ( ω ) se multiplicaria por 2 , Pero esto es sólo una conjetura. Entonces, ¿cómo afecta el número de átomos en la base a este razonamiento y, por lo tanto, a las propiedades termodinámicas de un cristal, como el calor específico?

No creo que dependa del número de átomos. Depende del número de celdas primitivas consideradas dentro de un volumen de espacio K.
Entonces, si la base tiene dos átomos o más, es decir, en cada celda primitiva hay más de un átomo, ¿no afectará los resultados?
La densidad de estados se encuentra diferenciando el número de modos permitidos (de vibración) 'N' con el vector de onda < k (en 3 D por norte = V 2 π 3 . 4 π k 3 3 )...esto cuenta automáticamente para todo. Puedo estar equivocado, pero la declaración 'número de modos de vibración permitidos, es decir, el número de modos de fonones depende de la cantidad de átomos, pero cuando lo traducimos al espacio K, la celda unitaria (junto con la cantidad de átomos en ella) obtiene traducido en consecuencia para que no tenga que factorizarlo por separado. Nuevamente, puedo estar equivocado. Buena pregunta.
Solo una nota al margen aquí; en el modelo cuántico de electrones libres, si hay una contribución de más de un electrón por parte del átomo en consideración, ¡multiplicamos con el número de electrones de conducción en consecuencia al encontrar la densidad de estados!

Respuestas (1)

Voy a utilizar el modelo debye para aclarar en lo que pueda tu duda.

Debye supuso que el número de modos de vibración en un sólido cristalino se limita a 3 norte , el número de grados de libertad de traslación de norte átomos (vea cómo pasa por alto convenientemente el número de átomos en la red primitiva y todos los demás detalles al respecto), para dar cuenta de la naturaleza atómica real de un sólido cristalino. Hay una longitud de onda mínima en el problema planteado por el espacio entre los átomos. No es posible que las ondas de sonido se propaguen a través de un sólido con una longitud de onda más pequeña que el espacio atómico porque no hay nada en el medio que se mueva. Los modos permitidos variaban en frecuencia desde cero hasta alguna frecuencia máxima. Llegar ω D , Debye set (estoy usando gramo en lugar de tu norte para denotar densidad de estados.)

∫ 0 ω D gramo ( ω ) d ω = 3 norte

Ahora espero que lo sepas gramo ( ω ) = 3 V 2 π 2 v 3 ω 2 para modos de fonón (3 en el numerador representa dos polarizaciones transversales y una longitudinal y v en el denominador es la velocidad del sonido).

Para resumir, solo miramos todo el cristal sólido y contamos la cantidad de átomos en él (aparentemente), no nos importa la celda unitaria primitiva o la cantidad de átomos que contiene, y luego solo hacemos la integral anterior donde en realidad comenzamos a dar cuenta de la cantidad de átomos en el cristal (y, por lo tanto, todavía no técnicamente en la celda primitiva; simplemente lo pasamos por alto)

Me doy cuenta de que su pregunta era si la cantidad de átomos en la celda primitiva afecta de alguna manera la densidad de estados y la respuesta es no. Porque estamos contando el número de FONONES por unidad de rango de frecuencia ω a ω + d ω y no átomos ni nada más

¿Cómo afecta el número de átomos en la base a la densidad de estados?
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