Ah, esto me da la oportunidad de darle un lugar adecuado a un análisis que publiqué por primera vez en Reddit . (Preferiría haberlo publicado primero aquí :-P)

Derivación matemática

Todo comienza con una publicación de blog que escribí que se acerca mucho a abordar la pregunta exacta que está haciendo. En la publicación, calculé qué tan rápido se movería un objeto después de caer una distancia determinada, suponiendo un arrastre cuadrático. Pero una de las fórmulas que utilicé para llegar a ese resultado es el tiempo que tarda un objeto en caer una cierta distancia.

Aquí está el argumento de mi publicación. Si escribes la segunda ley de Newton para un objeto que cae por el aire, obtienes

es decir, la fuerza de arrastre menos la fuerza gravitatoria es igual a la masa por la aceleración. En esta ecuación,$m$es la masa del objeto,$A$es el área de la sección transversal que presenta,$C$es el coeficiente de arrastre del objeto ,$\rho$es la densidad del fluido por el que cae,$g$es la aceleración de la gravedad, y$y$es su altura en cualquier momento dado. Resolviendo esta ecuación para$\dot{y}$da

Luego puede integrar esto con respecto al tiempo y resolverlo para$t$Llegar

En la publicación de mi blog se muestran un par de pasos más, pero no son realmente importantes. El punto es que esta fórmula da el tiempo$t$tarda un objeto en caer una distancia$h - y$.

Notarás que las propiedades del objeto que cae ocurren en esta fórmula solo como parte de la combinación particular$\frac{CA\rho}{2m}$. Entonces, el comportamiento de un objeto que cae puede caracterizarse completamente por esa proporción. Si llamas a esta proporción$r$, entonces la fórmula se convierte en

Para algunos valores de muestra de$h - y$, esto es lo que parece como una función de$r$:

Notarás que el tiempo para caer una distancia determinada siempre aumenta con valores crecientes de$r$. Así que cuanto mayor sea el valor de un objeto de$\frac{CA\rho}{2m}$, más tarda en caer. Por el contrario, un objeto con una relación menor entre el área de la sección transversal y la masa (es decir, menor$r$, asumiendo la misma forma) caerá más rápido.

Ahora, en términos generales, una persona gorda tiende a ser más grande que una persona flaca en las tres dimensiones. Entonces su masa será aproximadamente mayor por un factor de$k^3$para algunos$k$, mientras que su área de sección transversal solo será mayor en$k^2$. (Esta es una gran aproximación, por supuesto, pero aún debería funcionar para la pregunta de "más rápido" frente a "más lento"). En consecuencia,$r$para una persona gorda será más pequeño (por un factor de$k$), lo que significa que tardan menos en caer.

Interpretación física

Todo eso está muy bien, pero solo hacer las matemáticas no necesariamente aclara por qué (físicamente) las personas gordas se caen más rápido. El quid de la explicación está en ese último párrafo: una persona gorda tiene una masa mayor en proporción a su superficie. Dado que la fuerza de arrastre es proporcional al área, pero el peso es proporcional a la masa, a medida que una persona engorda, el peso (que baja) aumenta más que la fuerza de arrastre (que sube), lo que significa que la persona acelera más.

Más matemáticas: factor de desaceleración

Ahora, ¿qué pasa con este "factor de desaceleración" que se le ocurre a Wolfram Alpha? Si observa la parte inferior de los resultados, verá que el factor de desaceleración es solo la relación entre el tiempo que realmente se tarda en caer, que le mostré cómo calcular arriba, con el tiempo que se tardaría sin la resistencia del aire. Puede obtener el último tiempo configurando$C$,$A$, o$\rho$a cero, o tomando el límite como$m\to\infty$. (¿Tiene sentido por qué todas estas asignaciones corresponden a hacer que el efecto del aire sea insignificante?) O, por supuesto, también podría tomar$r\to 0$. Ahora, antes de que empieces a preguntarte cómo vas a salirte con la tuya sacando la raíz cuadrada de$\frac{1}{0}$, en realidad necesita tomar un límite, y el límite de$t$como$r\to 0$está bien definido:

La fórmula para el factor de desaceleración es entonces

Esto depende solo del producto de la "relación de arrastre"$r$y la altura caída$h - y$. Esencialmente, es una forma de caracterizar cuánto afecta la presencia de la resistencia del aire al tiempo de vuelo.

La fuerza de arrastre no depende en gran medida de la masa del objeto que cae.

Así que si tomamos dos objetos con masa$m$y$M$dónde$M > m$, y suponemos que$F_{m,\,drag} \approx F_{M, \, drag}$entonces vemos que la aceleración en$M$es menor que la aceleración en$m$.

Suponer que la misma área de superficie probablemente sea incorrecta, pero aun así la relación área/volumen sugiere que el tipo gordo saldrá un poco adelante.

Es que la zona pasa mas o menos$(\mathrm{volume})^{\frac{2}{3}} \propto (\mathrm{mass})^{\frac{2}{3}}$(suponiendo que la densidad es aproximadamente igual) mientras que la fuerza hacia abajo es proporcional a la masa, por lo que se puede esperar que la velocidad terminal sea un poco mayor.

En la situación más simple, la respuesta es muy sencilla. En aras de la simplicidad, consideremos dos esferas del mismo tamaño, una hecha de hierro y la otra de plástico. En presencia de fricción del aire, al soltar las dos esferas del reposo a una altura dada, la esfera de hierro tocará primero el suelo. Hay dos razones para ello: 1) la aceleración de la esfera de hierro es mayor que la aceleración de la esfera de plástico. 2) la velocidad terminal de la esfera de hierro es mayor que la velocidad terminal de la esfera de plástico.

Para comprender las últimas afirmaciones, simplemente dibuje un diagrama de fuerza, con la fuerza gravitatoria tirando hacia abajo y la fricción del aire tirando hacia arriba y aplique la segunda ley de Newton. Debido a que la fuerza de fricción del aire no depende de la masa del objeto que cae, sucede que la aceleración y la velocidad terminal dependen de la masa del objeto. Por supuesto, esto no es cierto en la Luna, donde no hay fricción del aire.

Ignorando los cuerpos grasos y tratando esto como esferas de diferentes tamaños con la misma densidad:

Usando la ecuación empírica para la fuerza de arrastre, cuanto más grande es la esfera, mayor es la

Velocidad terminal.

Además, a cualquier velocidad dada, la esfera más grande tendrá una tasa de aceleración mayor.

Entonces: la esfera más grande tiene mayor aceleración y velocidad terminal, por lo que avanza y se mantiene adelante.

La persona gorda caerá mucho más rápido en caída libre, si el área de superficie es la misma. Esto se debe a la misma razón por la que dejar caer un peso de plomo en una piscina se hundirá más rápido que un peso de plomo con una masa más pequeña (y la misma área de superficie). El arrastre no es más que la resistencia del aire por el que pasa el objeto. La resistencia aumenta con la masa de aire que la persona desplaza en un segundo. Cada segundo de descenso, la persona más gorda caerá mucho más lejos antes de que la masa de aire que desplaza (arrastre) iguale su masa; en cuyo punto grasos está en su velocidad terminal.