¿Por qué un operador monopolo rompe la simetría global con la corriente topológica?

Las teorías de calibre a menudo están equipadas con simetrías globales "eléctricas" y "magnéticas" de forma superior. El acoplamiento de tales teorías a fuentes cargadas eléctrica o magnéticamente rompe explícitamente la simetría correspondiente (ya sea parcial o completamente).

Permítanme primero revisar cómo funciona esto para el caso más familiar de$\mathrm{U}(1)$Teorías de gauge en 4d. Así que considere un campo de calibre abeliano de 1 forma$A$con fuerza de campo$F=\mathrm{d}A$en un múltiple de 4$M$. Comience con la teoría de calibre pura, con acción

$$S \propto \int_M F \wedge \star F.$$

(En realidad, no necesitamos hablar sobre una acción, pero puede hacer las cosas más transparentes en ejemplos simples). La ecuación de movimiento y la identidad de Bianchi dicen que

$$\mathrm{d} \star F = 0 \quad\text{and}\quad \mathrm{d} F = 0.$$

En la teoría cuántica, estas son ecuaciones de operadores. Eso significa que tenemos dos corrientes conservadas diferentes de 2 formas$j= F$y$\tilde j = \star F$, que satisfacen$\mathrm{d} \star j = \mathrm{d} \star \tilde j=0$. Cada uno de estos es un$\mathrm{U}(1)$Simetría global de 1 forma, a menudo llamada "eléctrica" ​​($\mathrm{U(1)_E}$) y "magnético" ($\mathrm{U(1)_M}$), respectivamente. Se denominan simetrías de 1 forma porque los objetos cargados, las líneas de Wilson y las líneas de 't Hooft, se apoyan en variedades de 1. (Mientras que para las simetrías ordinarias de forma 0, los objetos cargados son operadores locales). Puede pensar en ellos como líneas de tiempo de cargas eléctricas de sonda y monopolos magnéticos. El$\mathrm{U(1)_E}$y$\mathrm{U(1)_M}$Las cargas en sí se obtienen integrando$\star j$y$\star \tilde j$sobre 2 esferas que unen estas líneas,$Q = \oint_{S^2} \star F$y$\tilde Q = \oint_{S^2} F$. Por supuesto, estos solo miden las cargas eléctricas y magnéticas de la partícula cuya línea de mundo rodean.

En estas variables, una línea de Wilson simplemente toma la forma$W_q(C) = e^{iq\oint_C A}$. La simetría eléctrica de 1 forma corresponde a la invariancia de la acción bajo el cambio$A \to A + \lambda$, dónde$\lambda$es un campo de calibre plano$(\mathrm{d}\lambda = 0),$y claramente$W_q(C)$se transforma bajo esta simetría. La línea de Wilson inserta una fuente en la ecuación de movimiento,$\mathrm{d}\star F = q \delta_C$. La línea 't Hooft es igualmente la holonomía del campo de doble calibre.$\hat A$, y la simetría magnética de 1 forma también correspondería al desplazamiento$\hat A$por un campo de calibre plano si escribimos la teoría en las variables duales. En términos de las variables originales, el operador 't Hooft$H_m(C)$corresponde a una receta para borrar$C$de$M$y exigir que$\oint_{S^2} F = 2\pi m$, dónde$S^2$es una esfera que une$C$. De manera equivalente, el operador 't Hooft inserta una fuente en la identidad de Bianchi,$\mathrm{d} F = 2\pi m \delta_C$.

Hasta ahora hemos discutido la teoría de medida pura. Supongamos ahora que lo acoplamos a materia cargada eléctricamente (digamos a un campo con carga 1). La materia cargada entra en la ecuación de movimiento como fuente,$\mathrm{d} \star F = \star j_E$, y rompe explícitamente la simetría eléctrica de 1 forma. De manera similar, acoplar la teoría a un operador monopolar rompe explícitamente la simetría magnética de 1 forma.

Esperemos que ahora pueda ver la respuesta a su pregunta original. Los autores están considerando una teoría 3d con campos de calibre abelianos$b$y$\hat b$. Como siempre, en ausencia de materia cargada magnéticamente, las identidades de Bianchi implican la existencia de corrientes conservadas$\star \mathrm{d}b$y$\star \mathrm{d} \hat b$. Tenga en cuenta que, dado que estamos en tres dimensiones, estas son simetrías globales ordinarias de forma 0. Así que la teoría tiene dos$\mathrm{U(1)}$simetrías globales ordinarias (ambas "magnéticas" en el lenguaje anterior). Ahora acoplan la teoría a un operador de monopolo para$\hat b$. Esto introduce una fuente magnética en la identidad de Bianchi para$\mathrm{d}\hat b$, y rompe explícitamente el correspondiente$\mathrm{U(1)}$simetría.

(no creo$\phi^\dagger \mathcal{M}_{\hat b}$es un error tipográfico Ellos dijeron eso$\mathcal{M}_{\hat b}$lleva la carga uno bajo el$b$medir la simetría y por lo tanto multiplicar por$\phi^\dagger$para hacer un operador calibre invariante.)