¿Por qué un motor de cohete tiene una potencia creciente a medida que aumenta la velocidad del cohete? [duplicar]

El aumento de potencia proviene del hecho de que el combustible se mueve junto con el cohete.

Es decir, suponga que la velocidad de escape es$w$y la velocidad actual del cohete es$v$. Cuando el cohete está en reposo, quema una pequeña masa$m$de combustible libera energía$mw^2/2$. Cuando el cohete se mueve extremadamente rápido, entonces$v \gg w$, la cantidad de energía cinética que tendría este combustible antes de quemarse es$mv^2/2$, ¡que es mucho más grande que la energía liberada al quemarlo! Entonces, la mayor potencia de salida proviene de la recolección de la energía cinética existente del propio combustible.

Por supuesto, esta energía cinética no vino de la nada. Fue puesto allí por la quema de combustible anterior, por lo que todo se verifica y no obtienes energía gratis.

Sin embargo, esta respuesta falla ya que el cohete excede la velocidad de escape, y tanto el cohete como el escape se mueven hacia adelante en relación con el observador. Ahora, a medida que el cohete acelera hacia adelante, el escape también acelera hacia adelante, por lo que la potencia para acelerar ambos sigue aumentando nuevamente.

El escape no acelera hacia adelante. El escape puede moverse hacia adelante (en relación con el observador), pero no acelera hacia adelante.

Considere el caso en el que ya se observa que el cohete avanza más rápido que la velocidad de escape. La masa que se convertirá en el escape se mueve a$v_e + x$, donde ambos$v_e$y$x$son positivos. Después de la reacción, la masa de escape se mueve hacia adelante a$x$. En lugar de acelerar hacia adelante, ha desacelerado. La velocidad ahora es menor y la energía cinética de la masa ha disminuido. Este cambio en KE debe equilibrarse con un aumento de energía en otra parte. En este caso permite que aumente la KE del cohete.

Tu argumento sobre el escape es correcto y no falla. Incluso si tanto el escape como el cohete se mueven en la misma dirección en relación con usted, la fuerza sobre el escape está en la dirección opuesta al movimiento del escape. Así, siendo negativo, el efecto de la fuerza es desacelerar el escape.
Imagina que en lugar de combustible tienes muchos resortes unidos a la pared del cohete, que empujan pequeños guijarros fuera del cohete. La fuerza del resorte sobre el cohete y la piedra sigue siendo la misma independientemente de la velocidad del cohete y, por lo tanto, la potencia total de la energía potencial liberada (previamente almacenada), pero la potencia sobre el cohete aumenta positivamente con la velocidad y la potencia negativa en los guijarros se vuelven cada vez más negativos.

NOTAS

1) Tanto el trabajo como la potencia no son invariantes, dependen del marco de referencia

2) En un marco de referencia en el que se mueve el cohete, la potencia sobre las piedras es negativa, comienzan con la velocidad del cohete y terminan con una velocidad más lenta. La potencia no es un vector, es un escalar, pero se vuelve negativa si la fuerza y ​​el desplazamiento tienen direcciones opuestas.

3) Los guijarros transfieren energía al cohete a medida que disminuye la velocidad.

$EK_i^{pebble}+EK_i^{rocket}+EP^{spring}=EK_f^{pebble}+EK_f^{rocket}$

Creo que los problemas se derivan de la definición de "poder" que está utilizando. Tal como se define, no parece indicar la energía real por unidad de tiempo que entrega la quema del combustible. En su lugar, intentaré calcular la energía que el combustible REALMENTE tiene que introducir en el cohete, y veremos que todo sale bien. Para hacer eso, me colocaré en un marco de referencia "estacionario" y calcularé la diferencia en KE en$t$y$t+dt$para calcular la potencia instantánea .

Las velocidades alineadas con el cohete serán positivas (léase: la velocidad del cohete está alineada con el eje z).

En el momento$t$, la velocidad del cohete es$v$, su masa es$M+m$.

En el momento$t+dt$, la velocidad del cohete es$v+dv$, su masa es$M+m-dm$y algo de combustible ha sido expulsado a velocidad$-u$con respecto al cohete. Entonces, el combustible tiene velocidad$-u+v$con respecto al marco estacionario (esto es cierto a primer orden, podríamos haber elegido$-u+v+dv$y todavía obtuve el mismo resultado en primer orden).

Escribiendo la conservación de la cantidad de movimiento entre$t$y$t+dt$:

De este modo$\frac{dv}{dt} = \frac{u \phi}{M+m}$dónde$\phi = \frac{dm}{dt}$. De hecho, obtenemos una aceleración constante siempre que el combustible quemado efectivo sea despreciable ($m = cst$) y el flujo de materia es constante$\frac{dm}{dt}$.

Ahora, veamos la ganancia de energía del sistema entre$t$y$t+dt$. Esta es la energía que debe proporcionar la quema del combustible. Usaremos la ecuación$dv = \frac{udm}{(M+m)}$que derivamos antes. Nuevamente mantenemos solo el primer orden como$dv$y$dm$son infinitesimales.

Donde la última ecuación se deriva de la conservación del momento. Si "dividimos" por$dt$, finalmente lo conseguimos

Así que parece que no hay problema en absoluto. De hecho, la potencia instantánea proporcionada por el combustible es siempre la misma. La energía que se inyecta en el cohete parece ser siempre constante como se esperaba.

Ahora a la pregunta. El poder que usas es la siguiente definición:$P = \frac{F\cdot d}{t}$. Según tengo entendido aquí$d$es la distancia total sobre la que ha actuado la fuerza sobre el cohete. Sin embargo, escribes$\frac{d}{t} = v$donde v es la velocidad instantánea. Como lo entiendo,$\frac{d}{t} = v_{mean}$es la velocidad media por lo que es una cantidad totalmente diferente.

Otra cosa a señalar es que, aunque la aceleración del cohete es constante, la fuerza que actúa sobre él parece no serlo. De hecho, usando la segunda ley de Newton:

Entonces, dividiendo por dt :$F_{rocket} = (u-v)\phi$. La fuerza real que actúa sobre el cohete parece disminuir a medida que el cohete acelera. Esto parece un poco contrario a la intuición, pero es comprensible: cuando expulsa algo de combustible, ocurren dos efectos: pierde algo de impulso porque perdió algo de masa, gana algo de impulso porque el combustible lo "empujó". Esos dos efectos se equilibran de tal manera que la aceleración es constante y proporcional a$u\phi$.

Sin embargo, la fuerza real que actúa sobre el cohete no es constante y aparentemente se convierte en una fuerza de "arrastre" cuando la velocidad del cohete es mayor que$u$. Esto se debe a que el impulso perdido por la masa liberada es mucho mayor que el impulso ganado por el empuje, a altas velocidades del cohete.

Habiéndome dado cuenta de que la fuerza en realidad no es constante, empiezo a ver por qué la definición$P = F\cdot v$conducir a algunos resultados inesperados. Además, no estoy seguro de qué tan correcta es esta definición si comienzas por$P = F\cdot d/t$. De hecho, según tengo entendido, aquí d es la distancia total recorrida, por lo que no tenemos$d/t = v$a medida que el cohete se acelera. Sin embargo, todavía tengo problemas para entender la validez de esta definición en general, por lo que puedo estar equivocado.

Déjame saber si esta respuesta es satisfactoria o no.

Tienes razón en que una fuerza constante$F$aplicado a un objeto de masa$m$generará una cantidad creciente de energía a medida que el objeto se acelera. Este poder adicional no "viene" de ningún lugar físico; más bien, proviene de la forma en que se define la energía cinética. Específicamente, lo que lo hace posible es el hecho de que la energía cinética crece más rápido que la velocidad al aumentar la velocidad.

La energía cinética de un objeto.$K$se define:

La potencia es la tasa de trabajo que se realiza. El teorema del trabajo y la energía dice que la cantidad de trabajo realizado sobre un objeto es igual al cambio de energía cinética del objeto, por lo que la potencia imbuida en el cohete es solo la tasa de cambio de$K$. enchufando$v=\frac{F}{m}t$(del clásico$F=ma$) para un objeto que acelera desde el reposo, tenemos que

entonces, diferenciando,

lo que significa que el poder aumenta con el tiempo.