¿Por qué un cuerpo desarticulado gira alrededor de su centro de masa?

Ocurre, creo, porque la rotación sobre ejes que no pasan por el centro de masa suele ser intrínsecamente inestable y, por lo tanto, la rotación tiende a "decaer" en un eje más estable, es decir, el que pasa por su centro de masa. Además, el momento de inercia de un cuerpo suele ser el más bajo a través de cierto eje principal a través de su centro de masa. (El momento de inercia es análogo a la masa en rotación, es decir, más momento de inercia para una cierta cantidad de fuerza implica menor fuerza angular). aceleración) Una prueba simple para esto es:

El momento de inercia$I=mr^2$para una partícula puntual a una distancia r de su eje de rotación. Ahora considere dos partículas separadas por cierta distancia$l$. Supongamos un eje de rotación que pasa por la línea que une a ambos, a una distancia$x$de la primera partícula, y$l-x$del segundo entonces el momento de inercia con respecto a este eje es

La idea es que si no hay fuerzas sobre un objeto, no importa cómo gire, su centro de masa debe moverse a una velocidad constante. Luego, en el marco del objeto, el centro de masa aparece estacionario y todo lo demás gira a su alrededor. En general, esto no se puede decir de ningún otro punto del objeto.

Para ver que el centro de masa se mueve a una velocidad constante, recuerde que el centro de masa$\renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \renewcommand{\rcm}{\r_\textrm{cm}} \rcm$es definido por$\rcm = \frac{1}{M}\int \r \rho d \r$, donde$\rho$es la distribución de densidad de masa del objeto y$M = \int \rho d \mathbf{r}$es la masa total del objeto. Entonces la velocidad del centro de masa$\renewcommand{\a}{\mathbf{a}} \renewcommand{\acm}{\a_\textrm{cm}} \acm$se puede encontrar tomando dos derivadas temporales:$\acm = \frac{1}{M}\int \a \rho d \r$.

Ahora el integrando$\a(\r) \rho(\r)$, por la segunda ley de newton debe ser la fuerza total$\renewcommand{\F}{\mathbf{F}}\F$en el punto$\r$. Esta fuerza tiene dos contribuciones: una fuerza externa$\renewcommand{\Fext}{\F_\mathrm{ext}}\Fext$y una fuerza interna$\renewcommand{\Fint}{\F_\mathrm{int}}\Fint$. Así tenemos que$\a(\r) \rho(\r) = \F(\r) = \Fint(\r) + \Fext(\r)$. Reemplazando esto en nuestra expresión para$\acm$, encontramos$\acm = \frac{1}{M} \int \Fint(\r)+\Fext(\r) d \r = \frac{1}{M} \Fext + \frac{1}{M} \int \Fint(\r) d\r$, donde$\Fext$es la fuerza externa total.

Ahora la fuerza interna proviene de interacciones por parejas con otras partes del objeto. Así que si$\Fint(\r, \r')$es la fuerza de la pieza del objeto en$\r'$en la pieza del objeto en$\r$, entonces la fuerza interna total en$\r$es dado por$\Fint(\r)=\int \Fint(\r,\r') d \r'$. Entonces la contribución total de$\Fint$a$\acm$puede ser escrito$\frac{1}{M} \int \Fint(\r) d\r = \frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r$. Pero cambiando el orden de integración, encontramos$\frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r = \frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r d\r'$por la tercera ley de newton tenemos$\Fint(\r,\r')=-\Fint(\r',\r)$. Combinando esto con la ecuación anterior encontramos$\frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r = -\frac{1}{M} \int \Fint(\r',\r) d\r d\r'$. Pero luego, al volver a etiquetar las variables ficticias en el lado derecho, encontramos que$\frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r = -\frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r$. lo que implica que$\frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r =0$. Por lo tanto$\frac{1}{M} \int \Fint(\r) d\r =0$, y entonces$\acm = \frac{1}{M} \Fext$. Por lo tanto, si la fuerza externa es cero, el centro de masa se mueve con velocidad constante.

Sucede porque, en la condición libre, solo el centro de masa es el punto que puede proporcionar las fuerzas centrípetas necesarias para la rotación del cuerpo.