¿Por qué es necesario el concepto de torque?

El concepto de par no es necesario como tal.

Pero es útil .

Cuando las cosas son útiles, alguien podría eventualmente comenzar a usarlas. Entonces, lamentablemente si se quiere, todos los demás tendrán que entenderlos también para poder seguir lo que se está haciendo.

En el caso del torque, es útil porque es una "versión rotacional" de la fuerza. No puede simplemente decirme que una fuerza causa una rotación; necesito más información para comprender la rotación resultante, ya que diferentes fuerzas pueden causar la misma rotación y viceversa, la misma fuerza puede causar diferentes rotaciones dependiendo de dónde (distancia desde el centro de rotación) y cómo (ángulo de la fuerza) se aplica la fuerza. Pero si me dijiste el par , entonces entiendo exactamente cómo resulta la rotación resultante. Solo un par puede causar una rotación específica (una aceleración angular, rotacional específica). El par es una medida que tiene en cuenta tanto la magnitud de la fuerza, el ángulo de la fuerza y ​​la distancia, de modo que se tienen en cuenta todos los parámetros que varían confusamente.

Entonces, desafortunadamente, si lo desea, el torque como concepto y propiedad está aquí para quedarse. Y bastante útil para dominar si me preguntas.

En principio, siempre podría usar la fuerza y ​​​​no usar el par. Pero, el uso del torque simplifica enormemente el análisis del movimiento de un sistema de partículas.

Por ejemplo, para la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo, el movimiento de rotación se describe simplemente como$\tau = I \alpha$dónde$\tau$es el par neto,$I$es el momento de inercia y$\alpha$es la aceleración angular.

La complicada rotación general de un cuerpo rígido se describe mejor usando torque; como el uso de las ecuaciones de Euler. Por ejemplo, consulte el texto Mecánica clásica de Goldstein para ver ejemplos de la rotación general de un cuerpo rígido.

Una gran razón para usar el torque es que crea una forma simple de entender cuándo un objeto está en equilibrio.

Cuando la suma de las FUERZAS sobre un objeto es cero, entonces sabemos que el objeto no tiene aceleración traslacional.

De manera similar, cuando la suma de los TORQUES en un objeto es cero, entonces sabemos que el objeto no tiene aceleración de rotación.

Ejemplo: imagina que estás tratando de empujar una puerta para cerrarla, pero tu amigo está tratando de empujar la misma puerta para abrirla. Estás empujando normal a la puerta ($\phi = 90^\circ$), pero están empujando en un ángulo ($\phi = 70^\circ$). Ambos están aplicando esta fuerza en el radio$r$de la bisagra, pero tu amigo está aplicando su fuerza en$2r$. ¿Qué tiene que ser cierto para que la puerta sea estacionaria? La forma más fácil de expresar esto es que los pares deben sumar cero.

Si entendí bien, el quid de tu pregunta es:

¿Por qué no usar?$F = mr\alpha$para explicar el cambio en el movimiento de rotación de un objeto en lugar del par?

Razón #1: Un caso más general de masa concentrada

Hay algunas razones, pero la primera buena razón es que el$r$en$\tau = Fr$y el$r$en$mr^2\alpha$no siempre son los mismos$r$! Por ejemplo, considere este péndulo, que se muestra en la figura a continuación, cuya masa se concentra principalmente en el punto$r_1$del pasador (el punto alrededor del cual gira el péndulo). Un ejemplo del mundo real sería una varilla de péndulo de fibra de carbono con una bola de plomo incrustada en el medio. El plomo tiene una densidad significativamente mayor que la fibra de carbono, por lo que a veces podemos descontar la inercia de la barra y solo considerar la inercia de la bola de plomo.

La fuerza podría aplicarse en un punto diferente del péndulo ($r_2$en el dibujo). En el caso anterior, el momento de la fuerza (o torque, si lo prefiere) es$F r_2 \sin(\theta)$. La inercia rotacional es$mr_1^2\alpha$. Entonces no podemos simplificar la expresión a$F\sin(\theta) = mr\alpha$. en cambio tenemos

Razón #2: Masa distribuida

A diferencia del ejemplo anterior del péndulo, la mayoría de los cuerpos reales tienen masa distribuida en todo su volumen. En ese caso, su momento de inercia de masa debe calcularse con integrales volumétricas. Sin entrar en detalles matemáticos, podemos dividir un cuerpo en muchas piezas diminutas, cada una con su propia masa pequeña.$dm$y se encuentra a cierta distancia$r$del centro de rotación. ese valor de$r$será diferente para cada pieza! Necesitamos tener en cuenta el momento de inercia de cada pieza:$r^2dm$. Al realizar la suma del momento de inercia de todas esas pequeñas piezas, se obtiene el momento de inercia de la masa.$I$del objeto sobre el centro de rotación. Si en nuestro ejemplo del péndulo anterior, toda la barra delgada estuviera hecha de plomo en lugar de tener una masa concentrada en el centro, el momento de inercia de la masa sería$I = \frac{1}{3}mL^2$, dónde$L=r_2$es la longitud de la varilla.

Si insertamos esa expresión en la ecuación$\tau = I\alpha$obtenemos

¿Por qué no usar F = mr α para explicar el cambio en el movimiento de rotación de un objeto en lugar del momento de torsión?

Hay tres grandes cantidades mecánicas conservadas: energía, cantidad de movimiento y cantidad de movimiento angular. Cada una de ellas son cantidades separadas y se conservan por separado. Como se conservan, nos interesa la tasa de transferencia de cada uno de ellos.

La fuerza es la tasa de cambio del impulso.

La potencia es la tasa de cambio de la energía.

El par es la tasa de cambio del momento angular.

Estas son cantidades distintas. Si desea calcular el cambio en el momento angular, debe usar el par, ni la fuerza ni la potencia proporcionarán esa información. También es importante saber que es posible tener un momento de torsión sin fuerza neta, una fuerza sin potencia, etc.

porque desde$F = m r \alpha$, se puede ver que para saber qué magnitud de fuerza se aplicó a un objeto giratorio con una aceleración angular dada, debe conocer la distancia$\vec r$vector, es decir, la posición donde se aplicó esta fuerza. Y en la segunda ley (lineal) de Newton , la fuerza no depende de la distancia. Entonces debe ser que la aceleración angular no tiene nada que ver solo con la fuerza.

El segundo punto es que, como usted mismo notó, al multiplicar ambos lados de la ecuación por$r$, obtenemos:

Pero ...$mr^2 = I$no es más que un momento de inercia de un punto giratorio alrededor de un eje dado. Por lo tanto, supone que todos los sistemas de rotación angular dados serán puntuales, lo que no siempre es así. En general, un sistema puede tener un momento de inercia arbitrario. Puede consultar algunos en la lista común de momentos de inercia . Así que al final, tu ecuación se convierte en:

La llamada segunda ley de Newton para sistemas de rotación angular .

Considere una barra rígida pero sin masa con un eje sin fricción en un extremo. Una masa (m) está montada sobre la barra a un radio (r) del eje y una fuerza (F) empuja la barra a un radio (R). El trabajo realizado por la componente tangencial de la fuerza que empuja la barra a lo largo de una longitud de arco (S) será transferido por la barra, acelerando la masa a lo largo de una longitud de arco (s):$F_t$S = masa o$F_t$Rθ = m(rα)(rθ) donde θ es el ángulo de rotación de la barra. dividiendo ambos lados por θ da τ = (m$r^2$)α. Esta lógica se puede aplicar a cualquier número de fuerzas y masas. Tenga en cuenta que el radio de la fuerza puede ser diferente del radio de la masa. La suma de pares intenta provocar una aceleración angular, y la suma de términos (m$r^2$) (la inercia rotacional) se opone a esa aceleración. Este enfoque le brinda la mejor definición de un par: un par es el trabajo por unidad de ángulo de rotación (como julios por radianes) que puede realizar una fuerza que actúa de una manera que tendería a causar una rotación.

El concepto de par no es simplemente "necesario". simplemente es El par es axiomático, del mismo modo que "izquierda" y "arriba" o "debajo" y "más que".

Discute toda la noche sobre las palabras específicas que se usan en un idioma determinado y aún así, ¿cómo podría "necesario" entrar en esto, más de lo que lo hace con otros conceptos básicos como ancho o alto, largo, peso o volumen?