¿Los objetos giran alrededor del vector de torsión o de su centro?

Si un cuerpo se mueve solo por la influencia de un momento de torsión, entonces girará alrededor del centro de masa.

No hay ubicación para pares, solo direcciones. Si toma las ecuaciones de movimiento como se ve aquí ( https://physics.stackexchange.com/a/80449/392 ), verá que la ubicación del par no entra en las ecuaciones. Sólo la ubicación de las fuerzas.

Como resultado, la aceleración del centro de masa es cero y solo existirá la velocidad angular. El cuerpo girará alrededor de su centro de masa.

Tenga en cuenta que estas dos declaraciones son equivalentes:

1. Una fuerza pura a través del centro de masa (sin par neto alrededor del centro de masa) trasladará puramente un cuerpo rígido (cualquier punto del cuerpo).
2. Un par de torsión puro en cualquier punto del cuerpo (sin fuerza neta) hará girar puramente un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa.

Considere un cuerpo rígido inmóvil con un momento de torsión instantáneo puro$\vec{\tau}$aplicada sobre ella. El movimiento de cualquier punto A que no esté en el centro de masa es

$$0 = m \vec{a}_A - m \vec{c}\times \vec{\alpha} \\ \vec{\tau} = I_c \vec{\alpha} - m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} + m \vec{c} \times \vec{a}_A$$

dónde$\vec{c}$el vector de posición del centro de gravedad relativo al punto A . La solución a lo anterior es

$$\vec{a}_A = \vec{c} \times \vec{\alpha} \\ \vec{\tau} = I_c \vec{\alpha}- m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha}+ m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} = I_c \vec{\alpha}$$

$$\vec{\alpha} = I_c^{-1} \vec{\tau} \\ \vec{a}_A = \vec{c} \times I_c^{-1} \vec{\tau}$$

De lo anterior es obvio que el único punto A que no se mueve está en$\vec{c}=0$y todos los puntos paralelos a$\vec{\alpha}$a través del centro de masa.

El movimiento dependerá de las fuerzas de las que surge el par en primer lugar.

La segunda ley de Newton debe aplicarse al centro de masa del sistema y, por supuesto, se cuenta con la fuerza neta.

Entonces, si esta fuerza neta es nula, el centro de masa no puede cambiar o se mueve uniformemente (si es así, supondremos que el centro de masa de la esfera está estacionario en relación con nosotros). Por lo tanto, el centro de masa, el centro de la esfera, debe estar en el eje de rotación. Por lo tanto, el eje de rotación pasa por el centro de la esfera.

Además, en este caso de fuerza neta cero, la posición de la cola de un vector de torque no tiene significado físico porque se puede demostrar que el torque calculado debido a un sistema de fuerzas es independiente de dónde se realiza el cálculo (es decir, el punto sobre el cual se calcula). momentos de fuerzas), aunque, por supuesto, los pares debidos a cada fuerza individual dependen en gran medida de dónde se realice el cálculo.

La noción de que uno puede aplicar la segunda ley de Newton a un cuerpo rígido y calcular la trayectoria del centro de masa del cuerpo como si el cuerpo fuera un punto se conoce a veces como la Primera Ley de Euler .

La segunda ley de Euler es que el momento de torsión$\mathbf{M}$y el momento angular del cuerpo rígido$\mathbf{L}$se relacionan análogamente con la segunda ley de Newton, a saber:

$$\mathbf{M} = \mathrm{d}_t \mathbf{L}$$

y$\mathbf{L} = \mathbf{I}\, \vec{\omega}$dónde$\mathbf{I}$es ahora el tensor del momento de inercia (un tensor simétrico$3\times3$matriz) para que$\mathbf{L}$no siempre tiene la misma dirección que la velocidad angular$\vec{\omega}$. Si hay una fuerza neta, entonces el par neto$\mathbf{M}$depende de dónde se calcule, pero también lo hacen$\mathbf{I}$y$\mathbf{L}$, de modo que la descripción del movimiento es, por supuesto, independiente del punto de referencia, ¡como debe ser porque la física no puede depender del punto de vista desde el que los humanos lo describen! Además,$\mathbf{I}$cambia a medida que el cuerpo gira por pares netos, por lo que es más útil hacer cálculos de dinámica de rotación de cuerpo rígido en un marco no inercial que gira con el cuerpo. Si el marco está alineado a lo largo de los ejes principales de inercia, es decir, los vectores propios ortogonales de la matriz de inercia, entonces la matriz de inercia se diagonaliza y la segunda ley de Euler adquiere su expresión más simple a través de las ecuaciones de Euler . Todo análisis se hace habitualmente con origen en el centro de masa del cuerpo, cuyo recorrido es particularmente sencillo debido a la primera ley de Euler.

Para una esfera, la matriz de inercia cuando se calcula a través de cualquier eje ortogonal a través de su centro es diagonal y "escalar" (es decir, proporcional a la matriz identidad), por lo que tenemos la relación simple$\mathbf{M} = I \mathrm{d}_t \vec{\omega}$. El momento angular y la velocidad angular siempre tienen la misma dirección. El par engendra la rotación alrededor de un eje instantáneo a través del centro de masa, y esta rotación se superpone a la traslación acelerada si las fuerzas están desequilibradas.