¿Por qué U(1)YU(1)YU(1)_Y hipercarga en lugar de U(1)emU(1)emU(1)_\text{em} electromagnetismo?

Respuesta corta: para modelar con precisión la realidad.

Respuesta larga: la interacción débil tiene varias propiedades peculiares:

1. El$W$los bosones son bosones vectoriales (por lo que la teoría débil es probablemente una teoría de calibre)
2. El$W$los bosones tienen carga electrica
3. El$W$los bosones tienen masa. (El$Z$el bosón no se había observado experimentalmente; fue una predicción de la SM)
4. El$W$Los bosones se acoplan quiralmente, lo que significa que los fermiones zurdos y diestros pertenecen a diferentes representaciones del grupo de norma. En particular, los fermiones zurdos se transforman en la representación doblete, los fermiones diestros en la representación singlete (trivial).
5. EM es una interacción de calibre que se acopla vectorialmente.

Esto lleva a dos problemas que no se entendían antes de los años 60. El primer problema es cómo tener bosones de calibre masivos (ítems 1 y 3). Ingenuamente, un término de masa de bosón vectorial viola la simetría de calibre y la unitaridad. El segundo problema es cómo obtener fermiones masivos (ítem 4). Un término de masa de fermión acopla fermiones zurdos y diestros, pero estos pertenecen a diferentes representaciones débiles, por lo que el término de masa de fermión también rompe la invariancia de medida.

La realización de Higgs et al. y luego Glashow y Weinberg fue que ambos problemas pueden resolverse mediante la ruptura espontánea de la simetría. El mecanismo de Higgs dice que la ruptura espontánea de la simetría de una simetría de calibre conduce a bosones de calibre masivos. Y si el operador que obtiene un valor esperado de vacío tiene los números cuánticos correctos, puede acoplarse a los fermiones de la manera correcta para hacer un término efectivo de masa de fermiones.

Las preguntas son, ¿qué patrón de ruptura de simetría espontánea corresponde a la realidad y qué tipo de operador debería obtener un vev?

Debido al punto 5, necesitamos un SSB que deje un$U(1)_{em}$intacto. Dado que solo hay un grupo de Lie con doblete irreps, también sabemos que el grupo de calibre original debe incluir un$SU(2)$factor. Además, desde la$W$los bosones tienen carga (elemento 2), el generador de$U(1)_{em}$no debe viajar con algunos$SU(2)$generadores!

Para corregir el elemento 4 y hacer un término de masa invariante de calibre, necesitamos un operador para obtener un vev que se transforma en el doblete de$SU(2)$. Esto descarta el patrón de ruptura de simetría.$SU(2)\rightarrow U(1)_{em}$(no hay generador de$SU(2)$eso deja un doblete no trivial invariante, lo que significa que un doblete siempre se rompe$SU(2)\rightarrow {1}$que no deja espacio para un fotón).

El siguiente patrón más simple para probar es$SU(2)\times U(1)_Y\rightarrow U(1)_{em}$. Podríamos lograr esto con un doblete sin carga y$U(1)_Y = U(1)_{em}$, pero entonces$[U(1)_{em},SU(2)]=0$y el$W$los bosones no estarían cargados. La única otra forma es tener el patrón del modelo estándar donde el$U(1)_{em}$generador es una combinación lineal de$U(1)_Y$y algún generador de$SU(2)$, que es de hecho un patrón posible.

Entonces, el patrón de ruptura de simetría$SU(2)\times U(1)_Y \rightarrow U(1)_{em}$con$Q = Y + T_3$es el patrón SSB mínimo que coincide con la fenomenología débil general. No es el único mecanismo posible, por lo que es realmente muy bueno que la naturaleza haya elegido este. También es bueno porque predice el$Z$bosón

Respuesta detallada

La cosa es que realmente no puedes forzar una interpretación a priori del grupo de calibre con el que extiendes tu teoría existente. Solo puedes decidir sobre las simetrías de tu teoría.

Entonces, manteniendo las cosas muy generales, comience tratando de medir el grupo de simetría$SU(2)$. Este tiene tres generadores y así da lugar a tres corrientes independientes. El grupo de simetrías asociadas con dicho grupo se conoce comúnmente como isospín . Esto no se limita a la interacción débil. Hay, de hecho, otros objetos con simetrías similares.

Cuando intenta "comprimir" el electromagnetismo en su teoría, procede extendiendo el grupo de simetría. Esto significa que sus campos corresponderán a la representación del grupo extendido. La forma natural de hacerlo es pasar de$SU(2)$a$SU(2)\times U(1)$.

Ahora recuerde, en esta etapa, no tiene mucho sentido decir nada acerca de la naturaleza de la agregada$U(1)$simetría. Y debemos, de hecho, analizar el nuevo$SU(2)\times U(1)$grupo como una sola entidad .

Luego debe proceder a escribir el elemento más general del grupo que le permita identificar sus generadores. Luego, cuando mide su grupo, la derivada covariante se escribe en consecuencia (ver Peskin y Schroeder, Introducción a la teoría cuántica de campos , p. 702 de la edición de 1995):

$$D_\mu=\partial_\mu-igW^i_\mu T^i-ig'YB_\mu$$

dónde$W^i_\mu$y$B^\mu$son respectivamente los "potenciales vectoriales" asociados con el$SU(2)$y$U(1)$las simetrías y los factores al frente son las cargas respectivas de cualquier partícula dada en el grupo correspondiente.

Hasta este punto, no hemos tenido el tiempo de asignar ningún significado definido a los grupos de simetría utilizados y tuvimos que proceder de forma bastante mecánica.

Tenemos que introducir la hipercarga porque queremos tener la teoría correcta

Esto es cierto. Y por teoría correcta , nos referimos a una que coincida con las observaciones. Para que nuestra unificación de interacción débil y EM sea un éxito, queremos recuperar, entre las características de nuestro nuevo modelo, un bosón con todas las características del fotón del electromagnetismo.

Para rastrear este fotón, comenzamos por notar que tiene que ser neutral bajo la acción del grupo completo. Al introducir la derivada anterior en el Lagrangiano para nuestra teoría (ver P&S para más detalles) terminamos con una parte que describe corrientes neutras proporcionales a

$$\mathcal{L}_{n.c}=\bar{\psi}\gamma_\mu[gT_3 W_3^\mu+g'YB^\mu]\psi~,$$

dónde$\psi$denota un objeto más grande (un elemento de la representación del grupo total), un grupo de partículas mezcladas por la interacción electrodébil, por ejemplo$\nu_e^L, \nu_e^R, e_L, e_R$por la interacción del electrón con su neutrino.

Para que aparezca EM, uno tiene que "barajar" este sector neutral para obtener una parte que sea formalmente idéntica a la parte de interacción del EM Lagrangiano. Esto se puede lograr operando la rotación

$$B_\mu = A_\mu \cos\theta_W - Z_\mu \sin\theta_W$$ $$W_\mu^3 = A_\mu \sin\theta_W + Z_\mu \cos\theta_W$$

Esto reproduce el Lagrangiano deseado$\mathcal{L}_{\gamma}=\bar{\psi}\gamma_\mu eQ \psi A^\mu$si uno elige el ángulo débil $\theta_W$sabiamente

Realmente no es difícil, pero por temor a que esta respuesta se vuelva insoportablemente técnica, simplemente cito el resultado (nuevamente, de P&S):

$$e=\frac{gg'}{\sqrt{g^2+g'^2}}~,$$

y

$$Q = T^3+Y~.$$

Conclusión

El resultado final, que espero poder dejar claro, es que no tienes elección sobre la interpretación de la naturaleza física de ninguna parte de tu grupo de simetría hasta que hayas calculado el Lagrangiano. Entonces, solo, puedes asignar los valores deseados a tus parámetros libres para recuperar tu física.

Por lo tanto, la$U(1)_{EM}$que está contenido dentro de la$SU(2)_L\times U(1)_Y$es realmente una combinación de aspectos de ambos$SU(2)_L$y$U(1)_Y$.

Los términos Isospin débil e Hipercarga débil podrían tener más sentido ahora después de darse cuenta de que ambos son aspectos necesarios del grupo más grande que contiene interacciones débiles y electromagnéticas.