¿Por qué todavía usamos la teoría de la perturbación, cuando tenemos métodos numéricos avanzados y computadoras rápidas?

Pero ahora tenemos computadoras rápidas y métodos numéricos avanzados. Pero no solo los investigadores todavía usan PT para problemas particulares, sino que gran parte del trabajo teórico en mecánica cuántica todavía se basa en PT de primer orden (o de segundo orden en el mejor de los casos).

La razón por la que no se ha abandonado la teoría de perturbaciones es la complejidad computacional. Este campo (CC) es el estudio de cómo crece el tiempo necesario para obtener una solución a medida que aumenta el tamaño (N) del problema (por ejemplo, aumentando el número de puntos de la cuadrícula en una integración numérica). Hay dos categorías principales de CC: 1) aquellas en las que el tiempo aumenta como un polinomio de N (denominado tipo P) y 2) aquellas en las que el tiempo aumenta exponencialmente (denominado EXPTIME).

Podría escribir la ecuación de Schrödinger exacta para un átomo de N electrones, pero a menos que N = 1 (hidrógeno, donde es posible una solución analítica), el problema es del tipo EXPTIME y los intentos de obtener soluciones numéricas para la ecuación exacta seguirán siendo poco prácticos sin importar lo rápidas que se vuelven las computadoras. El crecimiento exponencial en el tiempo pronto supera cualquier aumento en los recursos.

Esto no significa que la teoría de la perturbación simple de primer o segundo orden sea la única alternativa. Para el átomo de electrones N, por ejemplo, generalmente se asume un conjunto de orbitales similares al hidrógeno (generados a través de algún potencial central V(r)) y se escribe el valor esperado del hamiltoniano exacto para un determinante de Slater de estos orbitales. Este es en realidad un resultado de la teoría de perturbaciones de primer orden donde el potencial perturbador es la diferencia entre el hamiltoniano completo y el hamiltoniano que incluye el campo central V(r) pero excluye los términos de interacción electrón-electrón.

Sin embargo, no nos detenemos en este resultado de primer orden. Al igualar la derivada variacional de este valor esperado con respecto a cada orbital a cero, obtenemos las ecuaciones de Hartree-Fock (HF) (convirtiendo así un problema EXPTIME en un problema P). Resolviendo iterativamente las ecuaciones de HF hasta que el potencial central V(r) obtenido de los orbitales genere exactamente los mismos orbitales en la siguiente iteración (una condición llamada autoconsistencia), efectivamente sumamos cierto subconjunto de términos de la teoría de la perturbación a un orden infinito y obtenemos aproximaciones bastante buenas para el problema de N-electrones. La teoría de la perturbación simple es el punto de partida, pero el resultado final va mucho más allá.

Es cierto que no existe una prueba general de la convergencia de los enfoques de la teoría de la perturbación y hay algunos ejemplos en los que se puede demostrar explícitamente la no convergencia, pero muchos problemas en física simplemente no se pueden abordar de otra manera.

Por la misma razón todavía usamos$\sqrt{1+x}\approx (1+\frac{1}{2}x)$: porque en muchas circunstancias uno no está muy interesado en una larga serie de decimales sino que busca comprender aspectos más cualitativos de la respuesta.

La teoría de la perturbación para los valores propios/vectores propios es una especie de versión sofisticada de una expansión en serie, ya que se obtienen valores propios y vectores propios como una serie en las potencias de la perturbación.

Tanto en el sentido de que, en un número muy elevado de casos, basta con utilizar$\sqrt{2}\approx 1.41$o incluso$\sqrt{2}\approx 1.4$, rara vez hay algo fascinante con la teoría de perturbaciones más allá del segundo orden (hay excepciones). [Aparte, a menudo ocurren problemas interesantes cuando la teoría de la perturbación no es aplicable.]

Si su espacio de Hilbert es grande, digamos$10^6$con el propósito de argumentar, aunque esto no es particularmente grande, entonces la computadora escupirá$10^6$vectores propios; cada uno de estos vectores propios tiene$10^6$componentes, la mayoría de los cuales serán muy pequeños (de lo contrario, no es una perturbación). Si un estado base particular entra en el vector propio exacto con probabilidad$10^{-10}$, es probable que este estado no sea muy importante para comprender las propiedades del vector propio: su computadora se habrá esclavizado para producir$10^6$autovectores complicados, para los cuales la mayoría de los componentes son de poco interés. Si cambia la fuerza de la perturbación solo un poco, debe rehacer el cálculo para obtener un conjunto completamente nuevo de vectores propios, que no diferirá mucho del cálculo anterior.

Con la teoría de la perturbación, por otro lado, el parámetro perturbativo es explícito, por lo que puede evaluar fácilmente cómo cambiarán las cosas a medida que cambie este parámetro. Básicamente, no necesita rehacer el cálculo si quiere saber$\sqrt{9.1}\approx 3.017,\sqrt{9.2}\approx 3.033$o$\sqrt{9.3}\approx 3.050$: puedes ver cómo cambian las cosas usando

Para muchas aplicaciones, la teoría de la perturbación de primer (a veces segundo) orden brinda una descripción adecuada en forma analítica, que puede ser más adecuada para investigaciones posteriores que para la recopilación de datos.

Después de todo, el objetivo de dichos cálculos es probar la validez del modelo físico específico en cuestión, proporcionando los valores de ciertos observables físicos. A veces, buscar una solución numérica sería excesivo, otras veces proporcionar un tratamiento analítico en términos de la teoría de la perturbación enfatizaría las limitaciones u otras características importantes de la teoría.

El área de efectos no lineales no se trata de la misma manera, porque el resultado lineal no describiría los fenómenos. Desafortunadamente, esto no significa que los números darán la cura. Incluso si uno obtiene datos numéricos, a veces es difícil sacar conclusiones solo a partir de ellos.