¿Cómo es que la fórmula W=FdW=FdW=Fd no se aplica a la energía almacenada en manantiales?

Porque$W = Fd$solo vale para un caso muy especial. La definición general de trabajo se da a través de

$$W = \int_\gamma \vec F (\vec r) \cdot \text{d}\vec r$$ dónde$\gamma$representa una trayectoria en$\mathbb{R}^3$y$\vec F (\vec r )$representa un campo vectorial. El caso donde$W=Fd$sostiene es cuando$\vec F (\vec r)$es constante en todo el espacio y la trayectoria es paralela a la fuerza. Por ejemplo al tirar de una piedra de masa$m$a la altura$d$en línea recta a lo largo de la$z$-eje obtenemos $$W = \int_\gamma \vec F (\vec r) \cdot \text{d}\vec r = \int_0^d mg\ \text d z = mgd\ \hat{=}\ Fd.$$ Pero la fuerza al empujar o tirar de un resorte es proporcional a cuánto lo tiraste, depende de la posición. Entonces vemos cuando alargamos un resorte por una longitud$l$a lo largo de$x$-eje obtenemos $$W = \int_\gamma \vec F (\vec r) \cdot \text{d}\vec r = \int_0 ^l kx\ \text d x = \frac 1 2 k l^2\ \hat{=}\ \frac{F(l)\,l} 2$$ Nota : Los signos dependen del sistema que mires, por lo que para ciertos sistemas tendrías un signo menos con la fuerza.

Creo que esta pregunta muestra una mala interpretación del cálculo más que de la física.

Para fuerzas constantes , el trabajo se define como:

$$W = F \cdot s$$

Para aplicar esto para calcular el trabajo de fuerzas variables

Considere un intervalo de extensión$(x_o, x_o+h)$, si tuviéramos que reducir el tamaño de$h$se vuelve muy pequeño, entonces podemos decir que la fuerza es más o menos constante en este intervalo bajo consideración, y por lo tanto podemos aplicar la definición de trabajo para fuerza constante:

$$\Delta W = F \Delta h$$

Contracción$h$a cero y sumando esta cantidad en todos los intervalos posibles desde$x_o$a$x_{f}$, dónde$x_f$es el desplazamiento final, obtenemos el trabajo por una integral:

$$W = \int_{x_o}^{x_f} F dh$$