¿Por qué se usa θ2θ2\theta \over 2 para una esfera de Bloch en lugar de θθ\theta?

Una respuesta mucho más simple por qué$\theta/2$.

Ignore la fase por un momento, para tener un estado normalizado, necesita un vector$(\cos\alpha, \sin\alpha)$, donde$\alpha$está entre 0 y$\pi/2$. Esta gama de$\alpha$cubre todos los casos posibles, en cuanto a magnitudes.

Aquí es conveniente definir$\alpha=\theta/2$, de modo que el rango de$\theta$está entre 0 y$\pi$. De esta manera uno puede representar el estado en una esfera.

Por ejemplo , aquí puede encontrar una explicación detallada de por qué es$\theta/2$y no$\theta$, donde$\theta\in [0,\pi]$.

Brevemente, si tuvieras$\theta$, debido a la invariancia de fase global, los puntos antípodas de la esfera corresponderían al mismo estado (diferirían solo por un signo). Entonces solo el hemisferio superior ($\theta\in [0,\pi/2]$) es necesario para representar todos los posibles estados de qubit. Pero tener una esfera completa es más conveniente (tiene la simetría rotacional completa y los operadores de rotación pueden representar operaciones unitarias en los estados del qubit), por lo que asignamos el hemisferio superior a la esfera completa (esfera de Bloch) por$\theta'\to 2\theta$, en el que los puntos antípodas ahora corresponden a dos estados qubit mutuamente ortogonales.

Durante mucho tiempo (digamos el siglo XX), el objeto cuántico prototípico de 2 niveles fue el momento angular de un spin-$\frac12$partícula (electrón, nucleón, núcleo). La transición a qubits solo ocurrió a fines de la década de 1990, y principalmente en información cuántica. La esfera de Bloch fue introducida en 1946 (papel, $$) por Felix Bloch para estudiar los espines del estado cuántico.$\frac12$, y es$(θ,φ)$las coordenadas reflejan la realidad física de tales sistemas, por las razones matemáticas definidas en las otras respuestas.

El espín es una especie de momento angular intrínseco , cuya versión clásica está representada por un vector, con una dirección correspondiente al eje de rotación, una orientación correspondiente a la dirección de rotación (sentido horario frente a sentido antihorario) y una magnitud correspondiente a el momento angular total.

Para espín cuántico$\frac12$partículas, una medición de momento angular tiene una salida binaria$±\frac{ℏ}{2}$, fijando la magnitud del vector. Por lo tanto, el estado de espín de tal partícula puede representarse mediante un vector de longitud constante, que apunta a la dirección$(θ,φ)$de (el polo norte de) su eje de rotación. Estas$(θ,φ)$define aquí un punto una esfera, la esfera de Bloch, y corresponde a una dirección real en el espacio 3D.

Cuando se mide el espín según una dirección dada (un eje de cuantificación), las dos posibles respuestas corresponden a puntos antípodas de la esfera (direcciones opuestas). Por lo tanto, la ortogonalidad de los estados cuánticos no corresponde a los ángulos rectos en esta representación, de ahí el factor de 2 en$θ$. Puedes ver esto fácilmente en la base canónica, donde el estado$\lvert↑\rangle=|0\rangle$corresponde al polo norte ($θ=0$), y el estado ortogonal$\lvert↓\rangle=|1\rangle$corresponde al polo sur ($θ=π$).

Nota complementaria (y opcional): Esta explicación histórica en términos de spin-$\frac12$es solo una parte de la historia. Esta representación ha sido muy utilizada porque resultó útil (ver otro ejemplo). Prueba de ello es la (casi-)total ausencia de la esfera de Poincaré en la información cuántica, muy utilizada en la óptica clásica para estudiar la polarización. Para fotones individuales, un tipo de qubits ampliamente utilizado, es esencialmente una esfera de Bloch con un factor de 2 en$φ$, para que coincida con la orientación de polarización física. Sin embargo, incluso las personas que trabajan con fotones polarizados como qubit prefieren usar la esfera de Bloch a pesar de este factor de discrepancia de 2, porque se corresponde mejor con la "verdadera geometría de qubit", también conocida como$SU(2)$.

$|0\rangle$y$|1\rangle$son estados perpendiculares. Geométricamente, eso significa que deben estar a 90 grados de distancia; en ángulo recto entre sí. Para lograr que estén separados por 180 grados, como lo están en la esfera de Bloch, tuvimos que duplicar todos los ángulos.

Dado que todos los ángulos se duplican en la esfera de Bloch, si está pensando en términos de esos ángulos, debe recordar reducirlos a la mitad cuando regrese a los estados originales. Ahí es donde el$\theta/2$viene de. los$\theta$es un ángulo de esfera de Bloch, por lo que debe reducirse a la mitad para obtener el ángulo correcto real.

¿Por qué aguantamos una representación donde las cosas perpendiculares están separadas 180 grados? Porque hace una buena analogía entre las operaciones cuánticas de un solo qubit y las rotaciones en el espacio 3D. La esfera de Bloch también ahorra no uno sino dos grados de libertad al trazar. Si nos hubiésemos quedado con los 90 grados de separación, entonces estaríamos trazando en un espacio de cuatro dimensiones y no podríamos usar la distancia desde el centro para representar la pureza.

Sí, hay razones matemáticas más profundas para todo esto, cubiertas por las otras respuestas, pero pragmáticamente hablando, todo se reduce a tener que duplicar los ángulos para obtener la buena analogía con las rotaciones.

$\newcommand{\ket}[1]{\left|{#1}\right\rangle}$

O... ¿significa esto que la esfera es simplemente una representación gráfica de$\theta$y$\phi$, tiempo$\lvert 0\rangle$y$\lvert 1\rangle$no corresponden geométricamente a ningún vector sobre la esfera? (pero aquí escribe$\hat{z}=\lvert 0\rangle$y$-\hat{z}=\lvert 1\rangle$...)

Esta no es una representación gráfica artificial. Pero esta representación de$\Psi$en la esfera de Bloch se basa en proyecciones estereográficas , no es una representación "lineal". Por ejemplo, la igualdad euclidiana$\ket{1}=-\ket{0}$que has anotado, ocurre solo para las representaciones de$\ket{1}$y$\ket{0}$, no por el "verdadero"$\ket{1}$y$\ket{0}$.

los$\frac{\theta}{2}$se puede ver en la imagen dada en mi respuesta a continuación. el vector rojo$\xi$es el punto clave.

Una vez que uno escribe los qubits puros como

$$\Psi=\cos\frac{\theta}{2} \lvert 0\rangle + e^{i\varphi}\sin\frac{\theta}{2} \lvert 1\rangle \qquad (\star),$$ es obvio que las coordenadas esféricas proporcionan una correspondencia uno a uno (un homeomorfismo) entre un qubit puro y un punto en la esfera 2D (la esfera de Riemann o esfera de Bloch en este contexto). Pero quiero mostrar que este homeomorfismo no es artificial.

Los qubits puros son rayos .

Por lo general, se define un qubit como un vector en el plano complejo$\mathbb{C}^2$

$$\Psi = v_0 \ket{0} + v_1 \ket{1} = v_0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ v_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_0 \\ v_1 \end{pmatrix}$$ donde $v_0$y $v_1$son números complejos que satisfacen ${|v_0|}^2+{|v_1|}^2=1$(luego $\Psi$se dice que es un vector normalizado ). El espacio de los qubits tiene dimensión $3$.

Pero cuando$\Psi$y$\Psi'$son dos qubits que difieren por un factor de proporcionalidad complejo$z$(necesariamente teniendo módulo$1$, por eso$z=e^{i\alpha}$y llamado factor de fase ):

$$\Psi' = z \Psi = \begin{pmatrix} zv_0 \\ zv_1 \end{pmatrix}$$ definen la misma "lógica" a través de la regla Born (eso también significa que $\langle \Psi, A\Psi\rangle = \langle \Psi', A\Psi'\rangle$para operadores autoadjuntos $A$), y considerando solo qubits que tienen forma $$\Psi=\cos\frac{\theta}{2} \lvert 0\rangle + e^{i\varphi}\sin\frac{\theta}{2} \lvert 1\rangle \qquad (\star),$$ llamados qubits puros , es suficiente cuando miramos los qubits hasta un factor de proporcionalidad complejo.

El espacio de qubits puros así definido (qubit hasta un factor de proporcionalidad) también se conoce como espacio de rayos o espacio proyectivo complejo . $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$. Este es el formalismo matemático detrás de los qubits puros, y volveré sobre este punto.

Homeomorfismo con la esfera de Riemann

Es obvio que la expresión$(\star)$proporciona un homeomorfismo entre el espacio de qubits puros y la esfera de Riemann con la ayuda de coordenadas polares esféricas. Obviamente este homeomorfismo no es lineal; por ejemplo es claro que$\ket{1} \neq -\ket{0}$mientras que esta relación se puede ver en las representaciones de$\ket{1}$y$\ket{0}$en la esfera de Riemann. Y es claro que la combinación lineal

$$\Psi=\cos\frac{\theta}{2} \lvert 0\rangle + e^{i\varphi}\sin\frac{\theta}{2} \lvert 1\rangle$$ no ocurre en la representación euclidiana 3D.

Sin embargo, este homeomorfismo no es artificial . A continuación, distingamos cuidadosamente entre$\Psi$y su representación (la$\Psi$se muestra en la esfera).

Es bien sabido que la esfera de Riemann $\mathbb{S}^2$es una representación (es homeomorfa a) el espacio$\bar{\mathbb{C}}$de números complejos "más un punto en el infinito" a través de la proyección estereográfica . La proyección estereográfica de la representación de$\Psi$en el$(xy)$-plano es el vector

$$\xi = \tan\frac{\theta}{2} e^{i\varphi},$$ se muestra en rojo en la siguiente figura.

Interpretando el$(xy)$-plano como el espacio de números complejos, tenga en cuenta que$\xi$en realidad se encuentra en$\bar{\mathbb{C}}$porque$|1\rangle$en el polo sur se envía al punto en el infinito (mientras que$\ket{0}$se envía al origen del avión). Denotamos por$\textit{Stereo1}$esta habitual proyección estereográfica:

$$\textit{Stereo1}\colon \mathbb{S}^2 \to \bar{\mathbb{C}},$$ que envía la representación de $\Psi$al vector rojo $\xi$.

El punto es el siguiente. Como se dijo antes, el espacio de qubits es el espacio proyectivo complejo$\mathbb{C}\mathbb{P}^1$. Y se sabe que este también es homeomorfo a la esfera de Riemann. Este homeomorfismo también se llama proyección estereográfica:

$$\textit{Stereo2}\colon \mathbb{C}\mathbb{P}^1 \text{(the space of pure qubits)} \to \bar{\mathbb{C}},$$ y esta dado por $$\textit{Stereo2}(\Psi) = \frac{v_1}{v_0} = \frac{e^{i\varphi}\sin \frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}= \tan\frac{\theta}{2} e^{i\varphi} = \xi.$$

Por eso dije que el homeomorfismo proporcionado por las coordenadas polares esféricas no es artificial: es un homeomorfismo natural debido a la relación

$$\textit{Stereo1}(\text{representation of $\Psi$}) = \textit{Stereo2}(\Psi),$$ es decir $$\text{representation of $\Psi$} = {\textit{Stereo1}}^{-1} \bigl(\textit{Stereo2}(\Psi)\bigr).$$

tarjeta de resumen

I) El punto principal es que el medio ángulo$\frac{\theta}{2}$ se duplica cuando vamos del ket

$$\tag{1} |\psi\rangle~=~\begin{bmatrix}\cos\frac{\theta}{2} \cr e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\end{bmatrix}, \qquad ||\psi||~=~1,$$ a la matriz de densidad/operador $$\tag{2}\rho~=~| \psi\rangle \langle\psi | ~=~\frac{1}{2}\left({\bf 1}_{2\times 2}+ \vec{r}\cdot \vec{\sigma}\right),\qquad {\rm tr}\rho~=~1.$$ En la ec. (2) $$\tag{3}\vec{r}~=~\begin{bmatrix}x\cr y\cr z\end{bmatrix}~=~\begin{bmatrix}r\cos\phi\sin\theta\cr r\sin\phi\sin\theta\cr r\cos\theta\end{bmatrix},\qquad r~=~1,$$ es el radio vector en coordenadas esféricas, y $\sigma_i$son las matrices de Pauli . (Mencionamos para completar que la esfera de Bloch $S^2=\partial B^3$de estados qubit puros es el límite de la bola de Bloch $B^3$de estados de qubit mixtos ).

II) Alternativamente, para una explicación teórica grupal detallada de la presencia del semiángulo, consulte, por ejemplo, la Ref. 1. En resumen, el espacio de Hilbert bidimensional$H\cong\mathbb{C}^2$del qubit es una representación spinor/dublet del$G=SU(2)$Grupo de mentiras, que es una doble cubierta del grupo de rotación 3D.$SO(3)$. La representación adjunta

$$\tag{4}{\rm Ad}:~ G ~\longrightarrow~GL(su(2),\mathbb{R}),$$ dada por $$\tag{5} {\rm Ad}(g)\sigma~=~g\sigma g^{-1}, \qquad g~\in~G, \qquad \sigma~\in~su(2)~\cong ~\mathbb{R}^3,$$ es un homomorfismo de grupo de Lie, cuya imagen $$\tag{6} {\rm Ad}(G)~\cong ~SO(3), \qquad {\rm Ad}(\pm {\bf 1}_{2\times 2})~=~{\bf 1}_{3\times 3},$$ es isomorfo a $SO(3)$. La duplicación de ángulos tiene lugar implícitamente en la fórmula (5). (Esto es similar al hecho de que una partícula de medio espín requiere un $4\pi$rotación (en lugar de $2\pi$) para volver al punto de partida.)

Referencias:

1. G. 't Hooft, Introduction to Lie Groups in Physics , notas de clase, capítulo 6. El archivo pdf está disponible aquí .

Por la forma en que se define$\left| \Psi \right\rangle$no es un vector en la esfera, sino un vector a lo largo del eje z entre$-\hat{z}$y$\hat{z}$, porque es una combinación lineal de$\left|0\right\rangle$y$\left|1\right\rangle$que son ambos vectores a lo largo del eje z.

ahora queremos$\left|\Psi(\theta = 0 , \phi =0)\right\rangle = \left|0\right\rangle$, y$\left|\Psi(\theta = \pi , \phi =0)\right\rangle = \left|1\right\rangle$lo que da$\left|\Psi(\theta , \phi)\right\rangle = \text{cos}\frac{\theta}{2}\left|0\right\rangle + \text{sin}\frac{\theta}{2}e^{i\phi}\left|0\right\rangle$, porque porque$\frac{\pi}{2}=0$y el pecado$\frac{\pi}{2}=1$.