¿Por qué obtenemos una descomposición preferencial de partículas en la dispersión de electrones y muones?

Las razones del diferente comportamiento de las secciones transversales diferenciales es que

• estos dos procesos pasan por diferentes canales cinemáticos
• el mediador en estos procesos (que es el fotón) no tiene masa

En general, cualquier sección transversal tiene picos cuando el momento cuadrático "transportado" por el mediador de interacción está cerca de la masa del mediador (y por lo tanto el mediador se convierte en "en el caparazón"). Este es el punto principal de la respuesta, ya que para el primer proceso el mediador, que es el fotón, puede estar en el caparazón, mientras que para el segundo proceso no puede estar en el caparazón.

Hablemos de esto precisamente.

El proceso de dispersión$\mu e \to \mu e$pasa cinemáticamente por el$t$-canal, mientras que el proceso de aniquilación$e\bar{e} \to \gamma \gamma$pasa por el$s$-canal. Por lo tanto, marcar las partículas entrantes por los momentos$k_{i}$y los salientes por$p_{i}$(el electrón tiene etiqueta$1$), obtenemos que la dispersión electrón-muón contiene el propagador de fotones con

$$D_{\mu\nu} \sim \frac{g_{\mu\nu}}{(p_{1}-k_{1})^{2}},$$ mientras que la aniquilación electrón-positrón contiene la que tiene $$D_{\mu\nu} \sim \frac{g_{\mu\nu}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}$$ El primero contiene la singularidad en el límite $p_{1} \to k_{1}$, lo que conduce a la mencionada singularidad. Este es el resultado conocido en QED. Aparece en el canal t debido a la falta de masa del fotón. Para demostrar que estos factores, la falta de masa del fotón y el canal cinemático, son las verdaderas razones del comportamiento mencionado, tenga en cuenta que para el caso de masa fotónica distinta de cero obtendremos el denominador $$((p_{1}-k_{1})^{2}-m^{2}) = -(|(p_{1}-k_{1})|^{2}+m^{2}),$$ ya que siempre hay $(p_{1}-k_{1})^{2} < 0$, y por lo tanto se eliminará la singularidad.

En cambio, para el diagrama de aniquilación, el denominador ahora se modifica para

$$(p_{1}+k_{1})^{2} \to (p_{1}+k_{1})^{2} - m^{2}$$ Por lo tanto, para $(p_{1}+k_{1})^{2} = m^{2}$la sección transversal se vuelve singular, al menos a primera vista. Tenga en cuenta, sin embargo, que este no es el caso, ya que en realidad el denominador también contiene el $i\Gamma m$pieza, donde $\Gamma$es el ancho de decaimiento de nuestro fotón masivo "similar a un juguete"...