Producto interno: ¿operación entre vectores de un mismo espacio vectorial o entre vectores de un espacio vectorial y su espacio dual (Ej: bras y kets)?

Estoy dando mis primeros pasos en el aprendizaje de la mecánica cuántica y estoy aprendiendo sobre la notación bra-ket de Dirac. Estoy tratando de entender qué es el producto interno.

Mi entendimiento hasta ahora: el producto interno es una operación entre dos vectores que devuelve un escalar. Esto nos permite definir la ortogonalidad: dos vectores son ortogonales cuando su producto interno es 0. El producto interno es una generalización del producto escalar que he estado usando hasta ahora, que es esencialmente el producto interno restringido a los vectores en R norte , siempre regresando scalers reales. Un espacio de producto interior es un espacio vectorial para el que se define el producto interior.

Aquí es donde me confundo: hasta ahora, he estado aplicando el producto escalar a vectores del mismo espacio vectorial. Además, de Wikipedia: el producto interno "asocia cada par de vectores en el espacio [del producto interno] con una cantidad escalar conocida como el producto interno de los vectores".

Sin embargo, repasando los Principios de mecánica cuántica de Shankar, he aprendido que el espacio vectorial de kets tiene asociado un espacio vectorial de bras, su espacio dual. El libro de texto establece que el producto interno solo se define entre bras y kets y, por lo tanto, solo entre un espacio vectorial y su espacio dual. No he encontrado nada sobre kets o sostenes de productos internos, y mi intuición es que no tendría sentido. ¿Los espacios vectoriales asociados a bras y kets no son espacios de productos internos? ¿O el producto interno simplemente no tendría sentido?

En resumen, ¿el producto interno dentro de un espacio vectorial es el mismo que el producto interno entre bras y kets, o estoy confundiendo dos ideas diferentes? ¿Cuáles son, en general, los operandos sobre los que actúa el producto interior?

Si piensa en el producto interno como una multiplicación de matrices, debería quedar más claro: bra es un vector de fila, mientras que ket es una columna.
Pero, ¿no es el producto punto, un producto interno, definido entre cualquier vector de igual longitud, independientemente de si son vectores de fila o vectores de columna?
No puedes multiplicar dos columnas o dos filas usando las reglas de multiplicación de matrices. Sin embargo, pensar en ello como una multiplicación de matrices le evita preocuparse por los espacios duales, etc.
En realidad, el espacio de matrices fila es simplemente el dual del espacio de matrices columna. De hecho, esta es una buena manera de pensar en el dual, al menos para espacios de dimensión finita. Simplemente se piensa que el producto escalar significa que usted cambia una matriz de columnas a una matriz de filas y usa la multiplicación de matrices, como se sugiere. Esto está bien, hasta que quieras hacer algo como tratar con vectores en coordenadas curvilíneas (esencial para gtr), cuando se vuelve un poco más complicado.
Un espacio de Hilbert y su dual continuo (el espacio de todos los funcionales lineales continuos) son lo mismo. Este resultado se conoce como el teorema de representación de Riesz. De hecho, es el producto interno la forma de mapear elementos del espacio de Hilbert a elementos del dual: dado ϕ ∈ H , entonces el elemento correspondiente del dual es ⟨ ϕ , ⋅ ⟩ . Por el contrario, cada elemento del dual continuo puede escribirse como el último, para algunos ϕ .

Respuestas (2)

El producto interior es un mapa.

⟨ . , . ⟩ : H × H → C ( ψ , ϕ ) ↦ ⟨ ψ , ϕ ⟩

que envía dos vectores de un espacio vectorial H (en QM, esto no es solo un espacio vectorial, sino incluso un espacio de Hilbert) a los números complejos. En notación física, los vectores en H a menudo se escriben en notación bra ket como ket | ψ ⟩ . Una razón para ello es distinguirlos de los vectores de dimensión finita "habituales" que se escriben con una flecha arriba. El punto es que los vectores en el espacio de Hilbert son objetos abstractos, son diferentes (pero a menudo equivalentes) a un conjunto de números ( ψ 1 , ψ 2 , . . . ) que son la representación de ese vector en alguna base.

Un "vector de sujetador" es un mapa

α ⋆ : H → C ψ ↦ ⟨ α , ψ ⟩ ,

que envía vectores en el espacio de Hilbert a los números complejos, utilizando el producto interior previamente definido. Aquí, α es un vector ∈ H . De hecho los mapas α ⋆ (leer eso como un solo objeto, no como α complejo conjugado) en realidad también de un espacio vectorial, ya que puede sumarlos y multiplicarlos por un número, por lo que se denominan vectores de sujetador. Cada vector de sostén también corresponde de manera única a un vector en H (hay un isomorfismo entre los dos espacios vectoriales), por lo que podemos denotar tanto el mapa como el vector ket correspondiente en el producto interno con α .

  • En resumen, ¿el producto interno dentro de un espacio vectorial es el mismo que el producto interno entre bras y kets, o estoy confundiendo dos ideas diferentes?

Sí, es esencialmente lo mismo. Dados dos kets | F > , | gramo > , definimos el producto interior < F | gramo > , y esto nos permite definir el espacio dual de sujetadores como el espacio de funcionales en el espacio ket

< F | : | gramo >↦< F | gramo >

Sin embargo, una palabra de precaución. Esto solo funciona realmente para el espacio del producto interno de dimensión finita. Para el espacio de Hilbert de dimensión finita, está claro que existe un (anti-)isomorfismo entre bras y kets (anti- se refiere a la conjugación compleja). El teorema de representación de Riesz extiende este resultado al espacio de Hilbert de dimensión infinita (se requiere completitud). Más generalmente, para un espacio vectorial de dimensión infinita puede haber funcionales, o sujetadores, en el espacio dual que no correspondan a kets, y puede haber kets de modo que no se defina ningún funcional correspondiente de acuerdo con un producto interno.

Si tiene un espacio de dimensión infinita (como solemos hacer en qm), puede salirse con la suya fingiendo que funciona la mayor parte del tiempo, incluso cuando no es así. Por ejemplo, pretendemos que tenemos un espacio de Hilbert dividido por estados de posición | X > , pero el producto interior < X | y > es una función delta. Pretendemos que todo esto está cubierto por la teoría de la distribución, pero en realidad no es así. Existen severas restricciones en la teoría de las distribuciones. En lo que respecta a la mecánica cuántica ordinaria, no tengo conocimiento de que surjan problemas graves, pero en la mecánica cuántica relativista hay problemas graves que conducen a divergencias en qed. En última instancia, significa que no existe una definición matemática de los campos cuánticos como se usa generalmente en la teoría cuántica de campos.

He abordado estos problemas en Una construcción de QED completo utilizando el espacio de Hilbert de dimensión finita . También en Light After Dark III: The Mathematics of Gravity and Quanta , en el que doy un tratamiento matemáticamente riguroso.

Producto interno: ¿operación entre vectores de un mismo espacio vectorial o entre vectores de un espacio vectorial y su espacio dual (Ej: bras y kets)?
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