¿Por qué no deberíamos ilustrar las trayectorias de las naves espaciales sobre superficies estáticas de pseudopotencial de velocidad cero?

El pseudo-potencial / potencial efectivo para el problema circular restringido de 3 cuerpos es la suma del potencial gravitacional y centrífugo, cf. Figura 1.

$\uparrow$Fig. 1: El plano orbital 2D con líneas equipotenciales y los 5 puntos de Lagrange . (De Wikipedia .)

La principal deficiencia del video vinculado es que no menciona el papel de la fuerza de Coriolis . Debido a la fuerza de Coriolis, una masa de prueba$m$(sin propulsión) se desplazará a lo largo de (en lugar de perpendicular a) líneas equipotenciales. ($\leftarrow$Este solo hecho asegura que el pseudo-potencial sigue siendo físicamente relevante, cf. Pregunta del título de OP.) La deriva a menudo se superpone con un movimiento circular de velocidad angular$-2\Omega$, cf. Figura 2.

$\uparrow$Fig. 2: Una posible órbita en herradura a lo largo de líneas equipotenciales.$\star$es el Sol, mientras que$\bullet$es Júpiter.

Para obtener una derivación, fórmulas explícitas y más información, consulte, por ejemplo, la parte III de mi respuesta Phys.SE aquí y mi respuesta Space.SE aquí .

TL;DR: La fuerza de Coriolis explica la estabilidad de los puntos de Lagrange$L_4$&$L_5$, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Qué es la superficie de pseudopotencial: un gráfico de una función 3D.
Lo que no es la superficie de pseudopotencial: una colina sobre la que hacer rodar una canica.

Toda la confusión en torno a esto proviene de suponer que se trata de una superficie 3D regular, que se comportará tal como espera si arroja una canica sobre ella.

Puede hacer la misma suposición sin sentido en un gráfico 2D normal. Tome el gráfico de velocidad de la Voyager 2 , por ejemplo. Podrías imaginar una canica rodando encima de ella también, extrayendo todo tipo de interpretaciones físicas tremendamente incorrectas como "quedarse atascado en los valles de asistencia de gravedad" o "ganar más velocidad a medida que rueda cuesta abajo desde el Sol".

La gente está acostumbrada a que las tramas 2D no funcionen así. Lo que hace plausible que la superficie de pseudopotencial actúe así a primera vista es que tiene algunas propiedades similares: "Estar quieto" requiere estar en un lugar "plano". Rodar "cuesta arriba" hará que disminuya la velocidad, ir "cuesta abajo" aumentará su velocidad.

¿Por qué no deberíamos ilustrar las trayectorias de las naves espaciales sobre estas superficies estáticas de pseudopotencial?

¿No deberíamos? Creo que es excelente para trazar trayectorias de sobrevuelo repetidas y órbitas de 3 cuerpos. Solo deja en claro que es un marco de referencia giratorio . Los marcos giratorios son poco intuitivos, pero también útiles. ¿Quizás producir algunos videos educativos de marcos giratorios sería mejor que hacer videos (incorrectos) sobre un tema que requiere conocimiento de marcos giratorios?

¿Qué pasará realmente con estos tres objetos?

Se moverían (o, los dos principales son estáticos), pero no como esperarías que lo hicieran si se tratara de un pozo físico literal. Un objeto se movería de acuerdo con [conjunto de ecuaciones diferenciales] en lugar de [conjunto familiar de ecuaciones diferenciales].

¿Qué pasará con la superficie de pseudopotencial tan pronto como empiecen a moverse?

Nada, ya que este es un problema idealizado de tres cuerpos circularmente restringido. ¿Quizás lo que está buscando es el gráfico de energía potencial real de un sistema de dos cuerpos? Es un pozo en forma de trompeta para el objeto principal, con un pozo más pequeño en forma de trompeta que lo orbita ("se mueve") para el objeto secundario. Y contrariamente a la superficie de pseudo-potencial, ¡puedes hacer rodar canicas en ella!

Estos son tanto comentarios como respuestas, pero proporcionan algunas perspectivas diferentes.
[ Esto ha sido editado en base a consejos útiles de @uhoh. El comentario anterior sobre la conservación de la energía total de una partícula de prueba no era correcto. ]

1. Patrones de Chladni (arena en una placa vibratoria).
En presencia de dos grandes masas en órbita circular, la cantidad conservada (similar a la energía) es la integral de Jacobi . La integral de Jacobi, E _J es la suma de la energía potencial gravitacional más la energía potencial centrífuga más la energía cinética (como se ve en el marco giratorio). Las gráficas de cuasi-potencial, E _P corresponden a la suma de los dos términos potenciales y omiten la energía cinética. Dado que E _J para una pequeña partícula de prueba permanece constante (conservada), la energía cinética (~velocidad al cuadrado) es la diferencia entre el valor fijo de E _J y la superficie cuasi-potencial, E _P . Entonces, dado un valor para E_J para la partícula, su velocidad se puede encontrar como sqrt(E _J -E _P ). Desafortunadamente, esto es velocidad, no velocidad, por lo que no ayuda a establecer la trayectoria, pero nos dice algo sobre la probabilidad de encontrar la partícula en un lugar en particular. La probabilidad de encontrar la partícula en un volumen elemental de espacio es inversamente proporcional a su velocidad (entre otras cosas).

Esta es la base a través de la cual surgen distintos patrones en la arena sobre una placa vibratoria, como lo detalló por primera vez Ernst Chladni . Los granos de arena adquieren incidentalmente velocidades laterales proporcionales a la magnitud de las vibraciones en un punto particular de la placa. Estas velocidades son más pequeñas en los nodos en los modos de vibración. La probabilidad de encontrar granos es mayor donde sus velocidades laterales son más bajas, es decir, pasan la mayor parte de su tiempo en los nodos vibratorios ( imagen de abajo ).

En general, el movimiento de nuestra partícula de prueba será caótico, incluso con solo dos grandes masas presentes. Las partículas tendrán su energía cuasi-potencial máxima y su energía cinética más baja en el marco giratorio cuando estén cerca de los puntos L4, L5. La energía cinética más baja significa la velocidad más baja. Esto significa que la partícula tiene la mayor probabilidad de encontrarse cerca de L4, L5. Esto es especialmente cierto para las partículas cuyo valor de E _J es exactamente igual a la cuasi-energía máxima, E _P (que alcanza su máximo en L4, L5). Su velocidad disminuirá a cero a medida que se acerquen a los puntos de Lagrange y, por lo tanto, es casi seguro que los encontrarán allí .

2. Movimiento armónico simple
Para situaciones en las que la masa planetaria es mucho más pequeña que la masa central, los puntos L4, L5 todavía existen, pero las fuerzas de la masa planetaria serán muy pequeñas. En este caso, podemos considerar que la partícula de prueba se encuentra en una órbita keplariana simple alrededor de la masa central. Suponga que la órbita de la masa planetaria es circular, como lo serán las órbitas L4,L5. Suponga que nuestra partícula de prueba está en la misma órbita que L4 o L5, pero ligeramente perturbada. Lo observaremos desde un marco giratorio unido a L4 o L5.

Si la perturbación se realiza en el plano de la órbita (todavía circular), entonces la partícula de prueba parecerá oscilar hacia arriba y hacia abajo (perpendicular al plano de la órbita planetaria) en un movimiento armónico simple con el mismo período que el período orbital.

Si la perturbación se realiza en la excentricidad (todavía en el plano), entonces la partícula de prueba parecerá moverse nuevamente con un movimiento armónico simple alrededor del punto de Lagrange. En este caso, debido al efecto de Coriolis, la órbita será una elipse con ejes en la proporción 2:1 (si la perturbación es mayor, la elipse tendrá forma de "frijol").

Entonces, visto desde un marco giratorio unido al punto de Lagrange, perturbaciones muy pequeñas de una órbita L4 o L5 darán como resultado que una partícula realice pequeñas órbitas elípticas alrededor de L4 o L5 con el mismo período. Sin embargo, estas no son órbitas keplerianas. Son órbitas con movimiento armónico simple, como cuando la fuerza central es proporcional a la distancia (en lugar de la inversa del cuadrado) y el potencial es cuadrático.

Desde esta perspectiva, no existe una masa puntual equivalente en los puntos L4, L5. En cambio, localmente, pueden considerarse el centro de una esfera de densidad de masa constante sin fricción (¡materia oscura!) dentro de la cual pueden persistir estas órbitas armónicas simples. La densidad de masa requerida es la masa del gran objeto central dividida por el volumen de una esfera que encerraría la órbita planetaria, M/[(4/3)pi.R ³ ]. Esto asegura que el período de estos movimientos armónicos simples será el mismo que el período orbital de los puntos de Lagrange.