Valores propios y vectores propios

Antes de abordar específicamente la matriz de monodromía, es importante asegurarse de tener una comprensión física de lo que representan los valores propios y los vectores propios en general. Recomiendo encarecidamente el video de YouTube de 3blue1brown sobre este tema:

Destilaré los puntos importantes a continuación.

Considere las dos dimensiones$x-y$plano por simplicidad, con un vector general denotado por$\overrightarrow{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$. Podemos ver una matriz$A$,

$$\begin{align} A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \end{align}$$ como una transformación lineal que puede operar en los gustos de$\overrightarrow{a}$. Para visualizar el efecto$A$tendría en$\overrightarrow{a}$, considere el efecto que tiene sobre los vectores unitarios del sistema de coordenadas. En el sistema original, los vectores unitarios están dados por una línea que conecta el origen con$\hat{i} = [1 \ 0]$y$\hat{j} = [0 \ 1]$, respectivamente. La primera columna de$A$nos dice las coordenadas de donde esta el vector unitario$\hat{i}$aterrizaría si aplicáramos la transformación lineal, y la segunda columna nos dice las mismas coordenadas asociadas con la transformación$\hat{j}$. (Como control de cordura, verifique mentalmente que esto es consistente con la matriz de identidad que devuelve el vector original, y cómo cualquier escalar$k$multiplicado en la matriz identidad tiene el simple efecto de estirar el vector original).

Entonces, ¿por qué es importante? Bueno, nos da una forma de visualizar lo que le sucede a cualquier vector arbitrario como$\overrightarrow{a}$cuando aplicamos la transformación lineal$A$. El$x$y$y$coordenadas de$\overrightarrow{a}$será rotado y/o estirado de acuerdo a cómo$A$rota y estira los vectores unitarios del sistema (puede visualizar esto como el espacio 2D siendo rotado/estirado). Ahora, consideremos un caso especial de lo que podría suceder. Debido a la forma particular en que una transformación lineal gira y/o contrae el espacio 2D, pueden existir vectores específicos que terminan solo expandiéndose o contrayéndose sin cambiar su dirección. Un ejemplo obvio es el caso mencionado anteriormente: la matriz identidad multiplicada por un escalar, que podemos visualizar fácilmente como estirando cualquier vector sobre el que opere. Otros casos son más difíciles de visualizar, pero todos ellos pueden ser descritos por la siguiente relación

$$\begin{align} A\overrightarrow{v} = \lambda \overrightarrow{v} \end{align}$$ Lo que esto dice es que cuando la transformación lineal opera en algún vector$\overrightarrow{v}$, el vector se estira a lo largo de la dirección en la que ya apunta por algún factor$\lambda$. Para una transformación particular, llamamos al conjunto de vectores$\overrightarrow{v}$que exhiben este comportamiento vectores propios , y llamamos al factor por el que se estiran$(\lambda)$los valores propios correspondientes a los vectores.

La Matriz de Transición del Estado

Usted define correctamente la matriz Monodromy. Sin embargo, vale la pena dedicar un minuto a recordar de dónde proviene la Matriz de Transición Estatal (STM) y qué representa. Es decir, las ODE no lineales pueden ser costosas de calcular. Si resolvemos para el estado en el tiempo,$\overrightarrow{X}(t)$, resultante de una condición inicial particular,$\overrightarrow{X}_0$, sería bueno si fuera posible resolver aproximadamente cómo$\overrightarrow{X}(t)$cambios debido a perturbaciones en$\overrightarrow{X}_0$, sin volver a resolver la EDO no lineal. (Aquí se puede suponer$\overrightarrow{X}$denota la posición de la nave espacial + velocidad). Si tomamos una serie de Taylor para algún punto futuro,$\overrightarrow{X}_f$, en función del punto inicial sujeto a una pequeña perturbación, denotada por$\delta \overrightarrow{X}_0$, tenemos

$$\begin{align} \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0 + \delta \overrightarrow{X}_0) = \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0) + \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \delta \overrightarrow{X}_0 + \frac{1}{2} \delta \overrightarrow{X}_0^T \frac{\partial^2 \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0^2} \delta \overrightarrow{X}_0 + \cdots \end{align}$$ Para definir una linealización, truncamos todos los términos después del primero. Entonces, el estado final perturbado viene dado por $$\begin{align} \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0 + \delta \overrightarrow{X}_0) - \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0) = \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \delta \overrightarrow{X}_0 \\ \delta \overrightarrow{X}_F = \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \delta \overrightarrow{X}_0 \end{align}$$ En otras palabras, una perturbación en el estado inicial se propaga a una perturbación en el estado final por esta matriz que llamamos Matriz de Transición de Estado, $$\begin{align} \Phi(t_f,t_0) = \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \end{align}$$ cuyo nombre ahora tiene sentido intuitivo. Si modelamos una pequeña perturbación en el tiempo$t=t_0$, entonces podemos propagarlo hacia adelante y aproximar la perturbación resultante en$t=t_f$(para pequeños cambios, esta es una buena aproximación).

La matriz de monodromía

Como identificas en la pregunta, la matriz Monodromy$M$es la Matriz de Transición Estatal (STM)$\Phi$después de un período de órbita. En otras palabras, dada una perturbación en algún punto de una órbita, la matriz Monodromy nos dice el efecto de esa perturbación un período después. Ahora, podemos comenzar a responder realmente a su pregunta. Primero abordemos lo siguiente: "¿Cuál es la interpretación física de los vectores propios y los valores propios de la matriz monodromía?"

Como se discutió anteriormente para la transformación lineal general$A$, sus vectores propios nos dicen qué vectores/direcciones, si los hay, están puramente expandidos o contraídos bajo$A$, y los valores propios indican por cuánto. En el contexto de la matriz Monodromía, los vectores propios representan lo mismo. En otras palabras, los vectores propios describen direcciones a lo largo de las cuales se escalará una perturbación aplicada . Dependiendo del valor propio, una perturbación aplicada en la dirección dada por el vector propio crecerá ($\lvert \lambda \rvert > 1$), humedecer ($\lvert \lambda \rvert < 1$), o permanecer igual ($\lvert \lambda \rvert = 1$). Si bien hay 6 vectores propios/valores propios totales, se puede demostrar para el CRTBP que dos son complejos, y de los cuatro valores reales restantes, los valores propios existen en pares recíprocos, donde un par es simplemente la unidad. Por lo tanto, nos preocupamos principalmente por el par restante de valores propios,$\lambda_1$y$\lambda_2 = 1/\lambda_1$. Dado que es un par recíproco, si el valor propio no es la unidad, habrá tanto una dirección de crecimiento como una dirección de contracción. Si la perturbación se amortigua con el tiempo, nos referimos a la dirección como estable; mientras que si la perturbación crece, entonces consideramos que la dirección es inestable. Las direcciones estables e inestables existen naturalmente en pares en el CRTBP.

Variedades invariantes

La siguiente parte de su pregunta pregunta cómo los vectores propios conducen a las variedades invariantes en una órbita de Halo. Ahora que entendemos cómo los vectores propios corresponden a direcciones estables/inestables, estamos en condiciones de abordar esta parte de su pregunta. En lugar de dar una "definición de libro de texto" de variedades invariantes, establezcamos un par de hechos que ahora entendemos sobre cualquier ejemplo de órbita de Halo, y veremos que el significado de variedades invariantes cae naturalmente.

Considere una nave espacial que atraviesa cualquier órbita Halo inestable de referencia (por inestable, solo queremos decir que los valores propios de la matriz Monodromy no son todos la unidad). Ahora sabemos que en cada punto de esta órbita existe una dirección estable e inestable. Si aplicáramos una perturbación en la dirección inestable en cada punto de la órbita, podríamos generar una "familia" de trayectorias que se apartarían exponencialmente de la órbita de referencia al propagarse en el tiempo. Tenga en cuenta que viajar "hacia atrás en el tiempo" a lo largo de cualquiera de estas trayectorias inestables se acercaría a la órbita del halo de referencia.

¿Qué pasaría si quisiéramos identificar las trayectorias que se acercarían a la órbita de referencia en el tiempo? En ese caso, podríamos considerar una perturbación en la dirección estable y luego propagarla hacia atrás en el tiempo. Tómese un momento para pensar en esto si suena extraño. La razón por la que nos propagamos hacia atrás en el tiempo es que nos muestra caminos de ejemplo, sobre los cuales se podría colocar una nave espacial, para acercarse a la órbita de referencia en un sentido estable (recuerde que la perturbación se amortigua cuando se aplica en esta dirección).

Llamamos al conjunto de todas las trayectorias que llegan hacia adelante en el tiempo a la órbita de referencia su variedad estable , y llamamos al conjunto de todas las trayectorias que llegan hacia atrás en el tiempo su variedad inestable (ya que parten hacia adelante en el tiempo). Por lo tanto, vemos que los vectores propios de la matriz Monodromía pueden usarse para calcular las variedades invariantes para una órbita periódica particular. Además, podemos comenzar a comprender mejor la motivación detrás del uso de variedades estables/inestables para el diseño de trayectorias en el CRTBP. Las variedades inestables y estables proporcionan mecanismos naturales para transferir hacia y desde órbitas periódicas, lo que sugiere una filosofía para diseñar trayectorias eficientes entre diferentes órbitas.