¿Por qué necesitamos incrustar partículas en los campos?

En QFT tenemos la llamada incrustación de partículas en campos. Esto se discute con total generalidad en el libro de Weinberg, capítulo 5. En resumen, lo que uno hace es:

  1. De la clasificación de Wigner, para cada ( metro , j ) con metro ∈ [ 0 , ∞ ) y medio entero positivo j tenemos una representación unitaria del grupo de Poincaré caracterizando una partícula elemental, a partir de la cual podemos construir un espacio de Fock. Esto le da a los operadores de aniquilación/creación a ( pag , σ ) , a † ( pag , σ ) .

  2. A partir de estos, definimos

    ψ ℓ − ( X ) = ∑ σ ∫ v ℓ ( X ; pag , σ ) a † ( pag , σ ) d 3 pag , ψ ℓ + ( X ) = ∑ σ ∫ tu ℓ ( X ; pag , σ ) a ( pag , σ ) d 3 pag

    y luego exigimos que haya una representación D del grupo de Lorentz, de modo que

    tu 0 ( Λ , a ) ψ ℓ ± ( X ) tu 0 − 1 ( Λ , a ) = ∑ yo ′ D ℓ ℓ ¯ ( Λ − 1 ) ψ ℓ ¯ ± ( Λ X + a ) .

  3. Si D ( j ) es la representación del pequeño grupo asociada a ( metro , j ) los enlaces de requisitos anteriores D y D ( j ) .

Ahora, realmente me gustaría entender por qué uno hace eso , pero realmente entender, en el sentido de que realmente veo por qué esto es necesario, porque en este momento miro esto y pienso "bien, pero ¿por qué alguien haría esto de todos modos?"

Esto se ha insinuado en la respuesta de @ACuriousMind aquí y quiero ampliar esta discusión aquí. Se dice en la respuesta:

La definición del campo que toma valores en un espacio vectorial lo restringe a transformarse en una representación de dimensión finita, por lo que no puede ser una de las partículas de Wigner. Es importante que, mientras que los campos contienen los operadores de creación y aniquilación de las partículas en su modo de expansión, ellos mismos no se transforman como partículas. Es el espacio de Hilbert de una QFT el que debe llevar las representaciones unitarias adecuadas, no los campos.

Necesitamos un campo porque codifica la dinámica de la teoría: una QFT necesita un mapa entre los estados de entrada y salida, dado por la matriz S, que se obtiene de la acción del campo a través de la integral de trayectoria (o el formalismo LSZ o cualquier enfoque te sientes más cómodo). El mero conocimiento de los espacios de Fock (a través de la clasificación de Wigner) no es suficiente para esto.

Entonces, en cierto sentido, parece que todo esto de incrustar partículas en campos es necesario para la dinámica. Esto también lo sugiere Weinberg, pero no puedo entenderlo así.

Además, si asumimos el punto de vista de Weinberg, que las partículas son lo primero, que el teorema de Wigner es verdaderamente el punto de partida y los campos vienen después, esto tiene aún menos sentido.

Mi pregunta: intuitivamente, ¿por qué necesitamos esta incrustación de partículas en los campos? ¿Por qué esto es necesario? ¿Cómo podemos mirar esto y realmente ver que esto es necesario y entenderlo?

Parece ser el vínculo fundamental entre los campos cuánticos y las partículas relativistas, y todavía no puedo entender la idea fundamental detrás de esto, y eso es lo que quiero entender.

El concepto de operadores de creación y aniquilación que operan en un campo no solo se usa en física de partículas. Es una forma de expansión que se ajusta a las soluciones de una ecuación diferencial mecánica cuántica donde el potencial no se conoce y no se puede resolver analíticamente, como con las funciones de onda del hidrógeno. Uno toma las soluciones de la ecuación QM de partículas libres como un campo definido en cada (x,y,z,t), y usa los operadores de creación y aniquilación para modelar la existencia de una partícula bajo una integral prescrita.
El movimiento de una partícula se convierte entonces en una perturbación en movimiento en el campo subyacente de la solución de partículas libres en cada (x,y,z,t). Para modelar una partícula real, se necesitan paquetes de ondas, pero para calcular secciones transversales, etc. con diagramas de Feynman, esto es todo lo que se necesita. Esta es mi mano agitando la comprensión del experimentalista de todas esas ecuaciones :).
@annav, en realidad no me siento mal con los operadores de creación/aniquilación. Weinberg muestra que la imagen del espacio de Fock es bastante natural si queremos escribir una teoría cuántica de partículas relativistas, exigiendo así la invariancia de Poincaré. Si comenzamos con campos (como muchos libros de texto) y encontramos partículas al cuantificar, la incrustación no parece tan extraña. Pero si comenzamos con partículas como Weinberg obtenemos el espacio de Fock, operadores de creación/aniquilación, pero entonces ¿por qué campos? Weinberg dice que es escribir un hamiltoniano razonable. Todavía no veo por qué esto es razonable.
Mi respuesta es "para poder calcular las integrales, finalmente necesitas los diagramas de Feynman". Todo el concepto es para que uno pueda calcular, si no tiene el campo (funciones de onda plana de la ecuación diferencial correspondiente, dirac, o klein gordon o maxwell cuantizado) no podrá calcular una sección transversal o dar ninguna predicción a ser revisado. Vea una respuesta mía relevante aquí physics.stackexchange.com/q/134958

Respuestas (2)

La respuesta más satisfactoria que he visto a esta pregunta proviene de la perspectiva de la teoría algebraica cuántica de campos (AQFT) , que es una formulación de QFT basada completamente en observables , sin mencionar los campos en absoluto. Se requiere que el patrón de observables satisfaga algunas condiciones relativamente simples que mostraré a continuación. Después de expresar las condiciones en términos matemáticamente rigurosos (que no haré más adelante), podemos hacer dos cosas: (1) podemos deducir que los observables se pueden construir en términos de campos, y (2) podemos caracterizar operativamente el fenómenos que llamamos partículas. El punto central aquí es que (1) y (2) son lógicamente independientes entre sí. Así que no es que necesitemos incrustar partículas en los campos; es solo que podemos , y esto es tan incomparablemente conveniente que prácticamente siempre lo hacemos .

(Esto no responde a la pregunta histórica de cómo se le ocurrió a la gente la idea de usar campos, pero aborda la pregunta lógica de por qué podríamos hacerlo en retrospectiva).

AQFT se basa en la idea de que los observables deben asociarse con regiones del espacio-tiempo en lugar de objetos (como partículas). Esta es la idea en otras formulaciones de QFT también, pero mientras que otras formulaciones se preocupan por formas convenientes de construir observables (lo cual es importante, por supuesto), AQFT se preocupa por lo que se puede deducir solo del patrón de observables sin hacer suposiciones. acerca de cómo podríamos realmente construirlos. Para dar una idea del tema, enumeraré algunos de los principios generales aquí. Estos principios son para QFT en el espacio-tiempo de Minkowski.

Dejar A denote el álgebra generada por todos los observables, utilizando la imagen de Heisenberg. En cualquier modelo específico, tenemos una colección de subálgebras A ( O ) ⊂ A asociado con subconjuntos abiertos O del espacio-tiempo de Minkowski. Los observables locales son elementos de estas subálgebras.

Uno de los principios generales ( microcausalidad o causalidad de Einstein ) dice que si O 1 y O 2 son dos regiones separadas como el espacio, lo que significa que ninguna línea del mundo temporal pasa a través de ambas, entonces todo en A ( O 1 ) viaja con todo en A ( O 2 ) . En particular, dice que los observables locales separados en el espacio viajan entre sí. Esto es familiar de otras formulaciones de QFT.

Otro principio general (a veces llamado causalidad primitiva local , un refinamiento del axioma de la fracción de tiempo ) dice que si O 1 y O 2 son dos regiones tales que cada línea temporal del mundo a través de O 1 también pasa por O 2 , después A ( O 1 ) ⊆ A ( O 2 ) . En particular, esto dice que los observables en A ( O 1 ) también son miembros del álgebra A ( O 2 ) , incluso si la región O 2 está lejos en el futuro (o pasado) de O 1 . Esto también es familiar de otras formulaciones de QFT en la imagen de Heisenberg.

AQFT también asume la condición de espectro , que dice que el espectro del generador de traslaciones temporales (que es un observable pero no un observable local ) debe tener un límite inferior. Esto, de nuevo, es familiar.

El punto de reafirmar estas cosas familiares es enfatizar que todas están expresadas en términos de observables, sin mención de campos. Esto es importante porque si quisiéramos definir algún tipo de "isomorfismo" en la "categoría" de QFT, estas estructuras solo observables son las que nos gustaría que preservara el isomorfismo.

Se pueden encontrar más detalles sobre AQFT en http://arxiv.org/abs/math-ph/0602036 , y la fuente clásica es el libro Local Quantum Physics de Haag. Aunque los textos sobre AQFT tienden a enfatizar el rigor matemático, el punto importante aquí es que proporciona una buena base conceptual .

Como explican Landau y Lifshitz en su libro de mecánica cuántica (página 241), el segundo formalismo de cuantización pretende permitirnos describir estados con números de partículas variables o indefinidos. Dicho de otra manera, a pesar de que este formalismo se basa inicialmente en el espacio de soluciones de Hilbert de una sola partícula, nos permite describir estados que son más generales que un número contable de partículas.

El ejemplo más famoso donde este formalismo se vuelve necesario es el estado relativista de (un número indefinido de) fotones suaves cerca de partículas cargadas.

además, el ψ − los operadores cobran vida propia cuando se activa la interacción. Describen campos cuánticos incluso si no se pueden descomponer en operadores de creación y aniquilación.

Un tipo de estados que el segundo formalismo cuantizado nos permite describir son los estados de volumen infinito, densidad finita, donde el número de partículas es infinito. Hay fenómenos físicos que pueden ocurrir sólo bajo estas condiciones, por ejemplo, la anomalía axial. Requiere la existencia de (un estado de número infinito de) un mar de Dirac del que se extrae la carga axial.

gracias por la respuesta. Pero describir un sistema de números de partículas variables o indefinidos ya se puede lograr en el espacio de Fock, ¿no? Entonces, siguiendo el razonamiento de Weinberg: la simetría de Poincaré implica que los espacios de estados cuánticos deben llevar representantes unitarios del grupo de Poincaré. La clasificación de Wigner produce los espacios de estado de una partícula y luego construimos los espacios de Fock encima de esos para describir un número variable/indefinido de partículas.
Weinberg afirma que se necesitan campos para escribir una interacción de invariancia de Lorentz que obedece al principio de descomposición de conglomerados. De hecho, muestra en detalles que esto funciona. Pero, ¿cómo diablos alguien pensaría en eso? ¿Cuál es la intuición de introducir campos para empaquetar los operadores de creación/aniquilación? Quiero entender la idea/motivación subyacente.
Bueno, si cuantificas el campo EM, y no veo por qué no lo harías, obtienes fotones. Convertiría el campo EM en un objeto cuántico por muchas razones, una de ellas es que los observables asociados a partículas están cuantificados, así que ¿por qué no cuantificar el campo EM, que también es un observable? Y luego, al hacerlo, obtienes fotones. Así que ahora, entiendes la idea, ¿por qué no cuantificar algunos campos más y ver qué sucede? ¿Por qué no reinterpretar algunas ecuaciones, como Klein-Gordon, como una ecuación de campo? Entonces, esta es una posible ruta del tren del pensamiento.
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