$\renewcommand{ket}[1]{|#1\rangle}$El elemento n. ° 4 en su lista se considera mejor como la definición de la palabra "partícula".

Considere una cuerda vibrante clásica. Supongamos que tiene un conjunto de modos normales denotados$\{A, B, C, \ldots\}$. Para especificar el estado de la cadena, lo escribe como una serie de Fourier

$$f(x) = \sum_{\text{mode } n=\in \{A,B,C,\ldots \}} c_n [\text{shape of mode }n](x) \, .$$

En el caso típico,$[\text{shape of mode }n](x)$es algo como$\sin(n\pi x / L)$dónde$L$es la longitud de la cadena. De todos modos, el punto es que describa la cadena enumerando sus modos posibles y especificando la cantidad en la que se excita cada modo dando el$c_n$valores.

Supongamos que el modo$A$tiene una unidad de energía, modo$C$tiene dos unidades de energía, y todos los demás modos tienen cero unidades de energía. Hay dos maneras de describir esta situación.

Enumerar los modos (bueno)

La primera opción es como la serie de Fourier: enumeras los modos y das el nivel de excitación de cada uno:

$$|1\rangle_A, |2\rangle_C \, .$$ Esto es como una segunda cuantización; describimos el sistema diciendo cuántas unidades de excitación hay en cada modo. En mecánica cuántica, usamos la palabra "partícula" en lugar de la frase "unidad de excitación". Esto se debe principalmente a que históricamente entendíamos por primera vez las "unidades de excitación" como cosas que podíamos detectar con una cámara de niebla o un contador Geiger. Para ser honesto, creo que "partícula" es una palabra bastante horrible dada la forma en que ahora entendemos las cosas.

Etiquete las unidades de excitación (malas)

La segunda forma es dar a cada unidad de excitación una etiqueta y luego decir en qué modo está cada excitación. Llamemos a las excitaciones$x$,$y$, y$z$. Entonces en esta notación el estado del sistema sería

$$\ket{A}_x, \ket{C}_y, \ket{C}_z \, .$$ Esto es como la primera cuantificación. Ahora hemos etiquetado las "partículas" y descrito el sistema diciendo en qué estado se encuentra cada partícula. Sin embargo, esta es una notación terrible , porque el estado que escribimos es equivalente a este . $$\ket{A}_y, \ket{C}_x, \ket{C}_z \, .$$ De hecho, cualquier permutación de $x,y,z$da el mismo estado de la cadena. Esta es la razón por la que la primera cuantización es terrible: las partículas son unidades de excitación , por lo que no tiene ningún sentido darles etiquetas .

Tradicionalmente, esta terrible notación se solucionaba simetrizando o antisimetrizando las primeras funciones de onda cuantificadas. Esto tiene el efecto de eliminar la información que inyectamos al etiquetar las partículas, pero es mucho mejor simplemente no etiquetarlas y usar una segunda cuantización.

significado de 2$^{\text{nd}}$cuantización

Volviendo a la segunda notación de cuantificación, nuestra cadena se escribió

$$\ket{1}_A, \ket{2}_C$$ lo que significa una excitación (partícula) en $A$y dos excitaciones (partículas) en $C$. Otra forma de escribir esto podría ser escribir un solo ket y simplemente enumerar todos los números de excitación para cada modo: $$\ket{\underbrace{1}_A \underbrace{0}_B \underbrace{2}_C \ldots}$$ que es como se escribe realmente la segunda cuantización (sin las llaves). Entonces puedes darte cuenta de que $$\ket{000\ldots \underbrace{N}_{\text{mode }n} \ldots000} = \frac{(a_n^\dagger)^N}{\sqrt{N!}} \ket{0}$$ y simplemente escriba todos los estados como cadenas de operadores de creación que actúan sobre el estado de vacío.

De todos modos, la interpretación de la segunda cuantización es simplemente que te dice cuántas unidades de excitación ("cuantos" o "partículas") hay en cada modo exactamente de la misma manera que lo harías en la física clásica.

Ver esta publicación .

Comentarios sobre el #4 de OP

En la introducción a la cuántica aprendemos sobre sistemas con una sola partícula, por ejemplo, en una caja 1D. Esa partícula puede excitarse a una variedad de diferentes niveles de energía denotados$\ket{0}, \ket{1},\ldots$. Nos referimos a este sistema como si tuviera "una sola partícula", independientemente del estado en el que se encuentre el sistema. Esto puede parecer contrario a las declaraciones hechas anteriormente en esta respuesta en la que dijimos que los diversos niveles de excitación se denominan cero. , uno, dos partículas. Sin embargo, en realidad es perfectamente consistente como lo discutimos ahora.

Escribamos las notaciones cuantificadas primera y segunda equivalentes para la única partícula que se encuentra en cada estado:

$$\begin{array}{lllll} \text{second quantization:} & \ket{1,0,0,\ldots}, & \ket{0,1,0,\ldots}, & \ket{0,0,1,\ldots} & \ldots \\ \text{first quantization:} &\ket{0}, &\ket{1}, &\ket{2}, & \ldots \end{array}$$ Aunque no es del todo obvio en la primera notación cuantificada, la segunda notación cuantificada deja en claro que los diversos primeros estados cuantificados involucran a la partícula ocupando diferentes modos del sistema. En realidad, esto es bastante obvio si pensamos en las funciones de onda asociadas a los diversos estados, por ejemplo, usando la primera notación cuantificada para una caja de longitud $L$ $$\begin{align} \langle x | 0 \rangle & \propto \sin(\pi x / L) \\ \langle x | 1 \rangle & \propto \sin(2\pi x / L) \, . \end{align}$$ Estos son como los diversos modos de la cuerda vibrante. De todos modos, llamando a los primeros estados cuantizados $\ket{0}$, $\ket{1}$etc. "estados de una sola partícula" es consistente con la idea de que una partícula es una unidad de excitación de un modo porque cada uno de estos estados tiene una excitación total cuando sumas todos los modos. Esto es realmente obvio en la segunda notación cuantificada.

En la mecánica estadística del gran conjunto canónico, es necesario permitir superposiciones y mezclas de estados con diferente número de partículas. Por lo tanto, uno es naturalmente llevado a considerar el producto tensorial de la$N$-espacios de partículas con arbitraria$N$. Resulta (y es muy relevante para la mecánica estadística de no equilibrio) que uno puede reinterpretar la mecánica cuántica de cualquier número de partículas resultante como una teoría de campo no relativista, en la que el operador numérico se define para tener el valor propio$N$en$N$-espacio de partículas. (Si uno considera un solo modo de Fourier, esto explica su 4).

El formalismo de campo resultante se denomina segunda cuantificación (del primer espacio de 1 partícula cuantificado). Puede leer sobre esto, por ejemplo, en el apéndice del libro de física estadística de Reichl.

Si uno reemplaza la ecuación de Schroedinger de 1 partícula por la ecuación de Klein-Gordon o Dirac, obtiene (después del orden normal) la versión relativista.

El término es práctico, pero en realidad, solo hay una cuantización. Esto fue para estirarlo un poco, ya que considero que la ecuación de Klein-Gordon es clásica. Eso es motivado por que considero las ecuaciones de Maxwell como clásicas. Ambas ecuaciones están en el mismo nivel, por lo que considero que Klein-Gordon es clásica. Las vibraciones del modo normal clásico de los campos de Maxwell o Klein-Gordon son ondas estacionarias. Las vibraciones individuales se cuantifican como osciladores armónicos unidimensionales.

La segunda cuantización de fermiones es solo una forma de manejar la condición de antisimetría. Aquí la primera cuantización (tal como la dan Heisenberg, Schrödinger y Dirac) es la cuantización real.