¿Por qué los triángulos se dibujan así cuando se trabaja con la gravedad en un plano inclinado?

Puede descomponer las fuerzas a lo largo de AD y DF en lugar de AG y GC, pero no serán las fuerzas relevantes que está buscando. Lo que hace que esto sea confuso es que a menudo trabajamos completamente en magnitudes , mientras que fundamentalmente estamos manipulando vectores , y solo nos salimos con la nuestra con buenas elecciones de descomposición.

Supongamos que la fuerza de gravedad hacia abajo es$\vec{f}$con magnitud$f$y dirección a lo largo de AC. El método "correcto" dirá que hay una fuerza normal$\vec{f}_{\!\perp}$en la dirección de AG y una fuerza paralela$\vec{f}_{\!\Vert}$en dirección a GC, con$\vec{f} = \vec{f}_{\!\perp} + \vec{f}_{\!\Vert}$. Las fórmulas para las magnitudes son

$$f_{\!\perp} = f \cos\beta, \qquad f_{\!\Vert} = f \sin\beta.$$ Además, como AG y GC son ortogonales, sabemos $\vec{f}_{\!\Vert}$no puede tener ningún efecto sobre empujar hacia el plano inclinado; todos estos efectos son capturados por $\vec{f}_{\!\perp}$.

Ahora considere la descomposición "incorrecta" de$\vec{f} = \vec{f}_1 + \vec{f}_2$, con$\vec{f}_1$a lo largo de AD y$\vec{f}_2$a lo largo del DF. También podemos obtener estas magnitudes:

$$f_1 = f \sec\beta, \qquad f_2 = f \tan\beta.$$ El problema es, $\vec{f}_1$no captura completamente la fuerza normal, porque $\vec{f}_2$contribuye a esto también.

Para un ejemplo extremo, imagine una masa sentada en un suelo horizontal con un peso$\vec{f}$dirigido hacia abajo. Podríamos escribir$\vec{f} = \vec{f}_1 + \vec{f}_2$con ambos$\vec{f}_1$y$\vec{f}_2$también apuntando hacia abajo. No podemos limitarnos a mirar$\vec{f}_1$y negligencia$\vec{f}_2$al considerar el peso de la masa en el suelo.

Otra forma de ver las cosas es que estamos tomando silenciosamente productos escalares. La definición real e inequívoca de la fuerza normal de la masa sobre el bloque es el producto escalar de su vector de peso con el vector unitario normal a la superficie,$\vec{f}_{\!\perp} = (\vec{f} \cdot \hat{n}) \hat{n}$(dar o recibir una señal). Al calcular productos de puntos, solo puede ignorar los componentes de$\vec{f}$que son ortogonales a$\hat{n}$; si realiza una descomposición en la que ninguno de los componentes es ortogonal, debe incluir ambos términos. En ecuaciones, esta es la diferencia entre

$$\vec{f} \cdot \hat{n} = \vec{f}_{\!\perp} \cdot \hat{n} + \vec{f}_{\!\Vert} \cdot \hat{n} = (f_{\!\perp}) (1) \cos0^\circ + (f_{\!\Vert}) (1) \cos90^\circ = f_{\!\perp}.$$ y $$\vec{f} \cdot \hat{n} = \vec{f}_1 \cdot \hat{n} + \vec{f}_2 \cdot \hat{n} = (f_1) (1) \cos0^\circ + (f_2) (1) \cos69.91^\circ.$$

Tenga en cuenta su objetivo: establecer equilibrios de fuerzas en el$x$y$y$dirección, que normalmente se usará más adelante en el tratamiento del problema para determinar las ecuaciones de movimiento. Aún no ha definido estos ejes.

Puedes elegirlos (tu marco de referencia) como quieras, siempre que sean perpendiculares entre sí. En este caso, la opción más fácil es elegir AB como el$x$eje, apuntando en la dirección B. Elija AG (que es perpendicular a AB ) como el$y$eje, apuntando en la dirección A. El origen de tu$x,y$sistema de coordenadas es A.

Llame al ángulo en B ,$\beta$. En este problema en particular$\beta$es el único ángulo que necesitarás.

Suponiendo que FB es la horizontal verdadera, entonces el peso$mg$de la caja actúa hacia abajo a lo largo de AC , perpendicular a FB .

La proyección de$mg$en AG es el$y$-componente de$mg$y esta dada por$-mg\cos\beta$(signo menos de acuerdo con el sentido de la$y$eje).

La proyección de$mg$en AB es el$x$-componente de$mg$y esta dada por$mg\sin\beta$(signo más de acuerdo con el sentido de la$x$eje).

El problema se puede resolver en un sistema de coordenadas x-horizontal y-vertical, pero es bastante más difícil de esa manera. El problema fundamental es la naturaleza de la fuerza normal: se expresa como una restricción en lugar de una regla consistente como "$mg$hacia abajo" para el peso.

Lo que hace la fuerza normal es resistir los intentos de empujar las cosas hacia el mismo volumen de espacio, por lo que su dirección es perpendicular a la superficie y su magnitud es igual a las fuerzas que intentan empujar el objeto.

Por lo tanto, debe encontrar "las fuerzas que intentan unir los objetos" para descubrir qué fuerza normal actúa para cancelar. En este caso, eso significa una porción de peso y nada más, por lo que desea descomponer el peso en la parte que intenta empujar el bloque hacia la rampa y lo que quede (que es la parte "a lo largo de la rampa").