¿Por qué los estados fundamentales cuánticos simétricos son estados cat si la variedad de estados fundamentales es degenerada?

Question

¿Por qué los estados fundamentales cuánticos simétricos son estados cat si la variedad de estados fundamentales es degenerada?

Física
muchos cuerpos
transición de fase
ruptura de simetría
teoría cuántica de campos
mecánica estadística

parker

La historia habitual de las transiciones de fase cuántica que rompen la simetría (no consideraré las transiciones topológicas aquí) es así: tienes un hamiltoniano $H(g)$ describir un sistema infinito que depende de alguna constante de acoplamiento $g$ y respeta cierta simetría global $U$ . En un régimen (digamos pequeño $g$ ), el estado fundamental es único y por lo tanto invariante bajo $U$ . Este estado es "estable" en el sentido de que obedece a la propiedad de descomposición de conglomerados que para todos los operadores locales (invariante de calibre, en una teoría de calibre) $O_A$ y $O_B$ ,

\underset{| X - y | \to \infty}{límite} [⟨ O_{A} (X) O_{B} (y) ⟩ - ⟨ O_{A} (X) ⟩ ⟨ O_{B} (y) ⟩] = 0.

$\lim_{|x - y| \to \infty} \left[ \langle O_A(x) O_B(y) \rangle - \langle O_A(x) \rangle \langle O_B(y) \rangle\right] = 0.$ Pero una vez

g

$g$ crece más allá de algún acoplamiento crítico

g_{c}

$g_c$ , la variedad de estado fundamental se vuelve degenerada. Por supuesto, aún podemos diagonalizar

U

$U$ dentro de esta variedad degenerada para obtener un conjunto de múltiples estados fundamentales simétricos ortogonales. (Por "simétrico" me refiero a un estado propio de

U

$U$ (es decir, un estado de simetría definida), no necesariamente con valor propio

1

$1$ . Entonces, por ejemplo, estoy contando el estado fundamental antisimétrico

\frac{1}{\sqrt{2}} (| ↑↑ \dots ↑ ⟩ - | ↓↓ \dots ↓ ⟩)

$\frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow \uparrow \dots \uparrow \rangle - | \downarrow \downarrow \dots \downarrow\rangle)$ del modelo cuántico ferromagnético de Ising como un estado "simétrico".) Pero estos estados simétricos son todos estados del "gato de Schrödinger" o "superposiciones macroscópicas" en lugar de estados "estables", en el sentido de que existen operadores locales

O_{A}

$O_A$ y

O_{B}

$O_B$ que violan la propiedad de descomposición de conglomerados anterior (por ejemplo, el

S^{z}

$S^z$ operador para el modelo cuántico de Ising). No entraré en el controvertido debate sobre exactamente por qué tales estados no son físicos, sino que simplemente postularé que nunca se encuentran en el laboratorio. En cambio, siempre encontramos experimentalmente estados básicos que rompen la simetría que (a) son "estables" en el sentido de que respetan la propiedad de descomposición del grupo y (b) no son estados propios de

U

$U$ , tal que existe un parámetro de orden local

m

$m$ que no conmuta con

U

$U$ tal que

⟨ m ⟩ \neq 0

$\langle m \rangle \neq 0$ .

Esta historia ha demostrado ser increíblemente exitosa al describir con precisión una enorme variedad de fenómenos físicos. Se puede demostrar rigurosamente que es correcto en algunos casos especiales, como el modelo cuántico transversal de Ising. Pero hace tres suposiciones que no son obvias para mí:

Si el estado fundamental es único, siempre es estable (es decir, respeta la descomposición de grupos).
Si hay estados fundamentales degenerados, entonces los estados fundamentales simétricos son siempre estados cat (es decir, violan la descomposición de grupos).
Si hay estados fundamentales degenerados, siempre existen estados fundamentales estables (asimétricos).

Sin estos tres supuestos, la historia se desmorona (por ejemplo, uno podría imaginar una variedad de estado fundamental degenerada en la que el estado simétrico es estable y, por lo tanto, físicamente realista, por lo que la simetría permanece intacta).

La justificación manual habitual para estas suposiciones proviene de la teoría del campo medio de Landau-Ginzburg: imaginamos una función de densidad de energía que depende continuamente del valor esperado (espacialmente uniforme) de algún parámetro de orden local. $m$ . Si esta función es analítica y tiene múltiples mínimos degenerados, entonces deben estar separados por barreras de energía que (cuando se multiplican por $N$ para obtener la versión extensiva) son infinitamente altos en el límite termodinámico. Pero, ¿puede alguna de las suposiciones anteriores probarse con cualquier nivel de rigor sin utilizar la teoría del campo medio de Landau-Ginzburg? (Como de costumbre, siéntase libre de asumir invariancia traslacional, espacio de Hilbert local de dimensión finita, etc. si es conveniente).

Adán

¿Hay alguna razón por la que no estaría satisfecho con el enfoque estándar de usar un campo (magnético) acoplado al parámetro de pedido, que eleva la degeneración y se envía a 0 al final?

parker

@Adam Bueno, realmente no veo cómo eso está directamente relacionado. Eso da la intuición física de por qué las simetrías se rompen por fluctuaciones infinitesimales (y la falla de los límites

N \to \infty

$N \to \infty$ y

h \to 0

$h \to 0$ to commute da una definición de SSB), pero no aborda la descomposición de grupos. En particular, ¿cómo sabemos que el

h \to 0

$h \to 0$ límite nunca restaura la simetría si los GS están degenerados?

Adán

Bueno, como dices, por definición de SSB, no puedes restaurar la simetría enviando

h \to 0

$h\to 0$ ... pero eso realmente no aborda su punto. El problema es que su pregunta es fundamentalmente un problema de dinámica [¿puede el sistema saltar entre los diferentes estados fundamentales (asimétricos) en el límite termodinámico una vez que se selecciona uno (su historia sobre las barreras de energía)], que está tratando de resolver dentro de un marco estático.

Norberto Schuch

¿(2) no es derribado por orden topológico?

parker

@NorbertSchuch (2) es ciertamente más sutil en presencia de un orden topológico, pero creo que sigue siendo cierto bajo alguna restricción apropiada sobre los tipos de simetrías globales que consideramos. En un estado ordenado topológicamente, los estados propios de las transformaciones de calibre con soporte local son ciertamente estables, al igual que los estados propios de las líneas de Wilson alrededor de ciclos no contráctiles. Pero creo que los estados propios de las simetrías globales que actúan en cada sitio del sistema (por ejemplo, un campo magnético uniforme), como los que se encuentran en las fases SET, siguen siendo genéricamente estados gato, incluso en...

parker

... una fase topológica. En cualquier caso, creo que (2) siempre es cierto para los sistemas en la fase topológicamente trivial.

shane p kelly

Parece que Xiao-Gang Wen responde a su pregunta en ese enlace definiendo la ruptura de simetría como los estados básicos simétricos que contienen enredos GHZ o son estados gato.

parker

@ShanePKelly Claro, pero eso simplemente cambia la pregunta a (a) por qué los estados fundamentales únicos nunca son estados de gato y (b) por qué (no topológicamente) los estados fundamentales simétricos degenerados son siempre estados de gato.

shane p kelly

Estoy de acuerdo, así que he intentado responder (b) a continuación. (a) tiene algún tipo de respuesta en este artículo realmente agradable arxiv.org/abs/1606.07712 .

Respuestas (1)

¿Por qué los estados fundamentales cuánticos simétricos son estados cat si la variedad de estados fundamentales es degenerada?

¿Hay alguna razón por la que no estaría satisfecho con el enfoque estándar de usar un campo (magnético) acoplado al parámetro de pedido, que eleva la degeneración y se envía a 0 al final?
@Adam Bueno, realmente no veo cómo eso está directamente relacionado. Eso da la intuición física de por qué las simetrías se rompen por fluctuaciones infinitesimales (y la falla de los límites $N \to \infty$ y $h \to 0$ to commute da una definición de SSB), pero no aborda la descomposición de grupos. En particular, ¿cómo sabemos que el $h \to 0$ límite nunca restaura la simetría si los GS están degenerados?
Bueno, como dices, por definición de SSB, no puedes restaurar la simetría enviando $h\to 0$ ... pero eso realmente no aborda su punto. El problema es que su pregunta es fundamentalmente un problema de dinámica [¿puede el sistema saltar entre los diferentes estados fundamentales (asimétricos) en el límite termodinámico una vez que se selecciona uno (su historia sobre las barreras de energía)], que está tratando de resolver dentro de un marco estático.
@NorbertSchuch (2) es ciertamente más sutil en presencia de un orden topológico, pero creo que sigue siendo cierto bajo alguna restricción apropiada sobre los tipos de simetrías globales que consideramos. En un estado ordenado topológicamente, los estados propios de las transformaciones de calibre con soporte local son ciertamente estables, al igual que los estados propios de las líneas de Wilson alrededor de ciclos no contráctiles. Pero creo que los estados propios de las simetrías globales que actúan en cada sitio del sistema (por ejemplo, un campo magnético uniforme), como los que se encuentran en las fases SET, siguen siendo genéricamente estados gato, incluso en...
... una fase topológica. En cualquier caso, creo que (2) siempre es cierto para los sistemas en la fase topológicamente trivial.
Parece que Xiao-Gang Wen responde a su pregunta en ese enlace definiendo la ruptura de simetría como los estados básicos simétricos que contienen enredos GHZ o son estados gato.
@ShanePKelly Claro, pero eso simplemente cambia la pregunta a (a) por qué los estados fundamentales únicos nunca son estados de gato y (b) por qué (no topológicamente) los estados fundamentales simétricos degenerados son siempre estados de gato.
Estoy de acuerdo, así que he intentado responder (b) a continuación. (a) tiene algún tipo de respuesta en este artículo realmente agradable arxiv.org/abs/1606.07712 .

shane p kelly · Answer 1

Respuesta corta: Porque la estabilidad de los estados de ruptura de simetría implica la inestabilidad de los estados simétricos. Si toma dos estados macroscópicamente distintos con pequeñas fluctuaciones cuánticas, entonces podría esperar que la superposición de los dos tenga grandes fluctuaciones cuánticas debido a la distinción macroscópica. Grandes fluctuaciones cuánticas es su definición de inestabilidad. Esto se expresa con más atador a continuación.

Incluso si hay grandes fluctuaciones cuánticas en los estados de ruptura de simetría, es poco probable que interfieran de la manera correcta para cancelar cuando interfieren en un estado simétrico. Esto es más intuición y puede llevar mucho tiempo expresarlo.

Respuesta larga: primero debemos asumir que la degeneración se debe a la ruptura de la simetría. De lo contrario, puede crear un terreno local degenerado asociado con una simetría local y no romper esa simetría cuando crea el sistema de muchos cuerpos. Entonces puede tener un estado macroscópico degenerado simétrico que no es un estado de gato. Por ejemplo, el hamiltoniano $H=-\sum_i \textbf{L}^2_i$ para operador de giro $L$ tiene energía - $Nl^2$ y un $(2l+1)^N$ degeneración Básicamente, puede generar estados aburridos si no tenemos una suposición razonable sobre la causa de la degeneración.

Esto nos da algunas cosas:

una simetría global $U=exp(iJ)$ con $J=\sum_i J_i$ (global)
un operador de parámetros de orden global, $M$ que para los estados de ruptura de simetría tiene: $\left<M\right>=\sum_i \left<M_i\right>=CN$
simetría traslacional: $\left<M_i\right>=C$
$[M,J]=N[M_i,J_i]\neq0$ , de lo contrario, el parámetro de orden no rompe la simetría

Por lo tanto, hay dos bases diferentes en la variedad de estado fundamental degenerado. Uno que diagonaliza $M$ , $\{\left|m\right\}$ y uno que diagonaliza $J$ , $\{\left|j\right\}$ . (4) implica que las bases no son las mismas y el estado simétrico $\left| j \right>$ son superposiciones no triviales de $\left| m \right>$ .

Ahora escriba un estado j en términos de los estados m:

$\left|j\right>=\sum \psi_{j,m}\left|m\right>$

Antes de considerar la estabilidad de la $\left| j \right>$ , establezcamos algunos preliminares.

De $\left|m\right>$ siendo una base sabemos $\left< m|m'\right>=0$
de la simetría de traducción, sabemos que esta falta de ortogonalidad no puede deberse completamente a 1 o 2 sitios, por lo que podemos suponer $\left< m\right|O_x O_y\left|m'\right>\approx\left< m\left|O_x\right|m'\right>\approx 0$
El estado roto de simetría es estable, es decir, fluctuaciones. $\left<M_i^2\right>-\left<M_i\right>^2$ no son dramáticamente más grandes entonces $\left<M_i\right>^2$ y $\left|m\right>$ no mezcla dramáticamente múltiples estados propios de $M_i$ .

Ahora podemos considerar la estabilidad en los operadores $M_i$ . Primero $\left< j\right|M_x\left|j\right>$ . Por simetría, este debe ser 0, ya que el operador de simetría distingue entre valores distintos de cero. Por lo tanto para la estabilidad necesitamos: $\lim_{(x-y)\rightarrow \inf }\left< j\right|M_x M_y\left|j\right>=0$

Por no ortogonalidad obtenemos:

$\left< j\right|M_x M_y\left|j\right> = \sum_m |\psi_{j,m}|^2 \left< m\right|M_x M_y\left|m\right>$

De la estabilidad de los estados rotos de simetría sabemos $M_i$ no induce grandes transiciones fuera de $\left|m\right>$ y podemos aproximarnos $M_y\left|m\right>=C_m\left|m\right>$ Llegar

$\sum_m |\psi_{j,m}|^2 C_m^2 >0$

que no puede ser cero ya que $C_m^2>0$ y $|\psi_{j,m}|^2$ debe ser mayor que 0 para los estados que no son cero $C_m$ de lo contrario $[M,J]$ debe ser cero o los estados m no rompen la simetría.

Por lo tanto, los estados simétricos deben ser inestables si se ha producido una ruptura de simetría.

Mi intuición para la superposición de estados de ruptura de simetría inestable es que es muy poco probable para $M_x M_y$ para inducir la transición exacta para hacer $\left| m \right>$ ortogonal a sí mismo. La improbabilidad se debe a la complejidad de las fluctuaciones en $M_i$ a medida que aumentan las fluctuaciones cuánticas (entrelazamiento). Es posible que pueda resolver esto cuantificando cuánto efecto tiene la transición.

Creo que en lugar de "(4) implica que las bases no son mutuamente ortogonales", quieres decir "(4) implica que las bases no son las mismas".

¿Por qué los estados fundamentales cuánticos simétricos son estados cat si la variedad de estados fundamentales es degenerada?

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